1 SİHİRLİ SERİLERİN VE SAYI PARÇALARININ SAYISININ HESAPLANMASININ YÖNTEMİ AMAÇ: Sihirli karelerin ve sihirli küplerin oluşturulmasında kullanılan sihirli serilerin ve kaynaklarda “number partitions” diye geçen sayı parçalarının mevcut sayısının bulunması GİRİŞ:Yüzyıllardır insanların ilgisini çeken ve birçok matematikçinin üzerinde uğraştığı sihirli kareler ve sihirli küplerin oluşturulmasında kullanılan sihirli serilerin ve kaynaklarda “number partitions” diye geçen sayı parçalarının mevcut sayısının bulunması ile ilgili bir yöntem şu ana kadar bulunmamıştır.Ancak bilgisayar yardımıyla hesaplanabilen sihirli serilerin ve sayı parçalarının sayısını bulmak için biz de yeni bir algoritma bulduk. Sihirli kare için olan n elemanlı sihirli seri:   2 1,n aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümenin elemanları toplamı ( ) 2 1 2 n. n + olan n elemanlı alt kümeleri Örneğin, 3,5,7 sihirli kare için olan 3 elemanlı bir sihirli seridir. 4,7,10,13 sihirli kare için olan 4 elemanlı bir sihirli seridir. Sihirli küp için olan n elemanlı sihirli seri:   3 1,n aralığındaki tam sayılardan oluşan bir kümenin elemanları toplamı ( ) 2 1 3 n. n + olan n elemanlı alt kümeleri Örneğin, 25,16,80,104,90 sihirli küp için olan 5 elemanlı bir sihirli seridir. n.dereceden sihirli kare:   2 1,n aralığındaki tamsayılardan oluşan her yerden toplamı(çapraz,yatay,dikey) ( ) 2 1 2 n. n + e eşit olan nxn’lik kare 3.dereceden sihirli kare 4.dereceden sihirli kare n.dereceden sihirli küp:   3 1,n aralığındaki tamsayılardan oluşan her yerden toplamı ( ) 2 1 3 n. n + e eşit olan nxnxn’lik küp Mp(a;b,d)= . 2 ( 1) 2 1 + − p a b d a İlk elemanı b olan ve artım miktarı(ortak farkı) d olan a3 elemanlı aritmetik diziden oluşan a.dereceden bir sihirli küp için sihirli toplam=M3(a;b,d) olur. A ile başlayan ve ortak farkı D olan aritmetik diziden oluşan n. dereceden sihirli kareler için sihirli toplam=M2(n;A,D)=  ( 1) 2 . . 2 2 1 n a + D n − Sayı Parçaları: Sayı parçalarına örnek olarak; 5’in parçaları:5,(4,1),(3,2),(3,1,1),(2,2,1),(2,1,1,1),(1,1,1,1,1) dır. 1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16 8 1 6 3 5 7 4 9 2 2 Buna göre;P(5)=5’in parçalarının sayısı=7 olur.Sayı parçalarında yer önemsizdir;fakat sayılar aynı olabilir.Sayı parçalarında sayılar pozitif tam sayılardır.Sıralılarda yer önemlidir,sayılar aynı olabilir.Kümelerde yer önemsizdir ve sayılar farklı olmalıdır. SİHİRLİ SERİLERİN SAYISININ HESAPLANMASININ YÖNTEMİ: Bu tanıtmalardan sonra sihirli serilerin sayısını bulmak için geliştirdiğimiz yönteme geçebiliriz. Sihirli kare için olan n elemanlı sihirli serilerin sayısı=   2 1,n aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümenin elemanları toplamı ( ) 2 1 2 n. n + olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı=       − − 2 1 , 2 1 2 2 n n aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümenin elemanları toplamı 0 olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı r=tek sayı olmak şartıyla; 2 +1 = − m n n a n m n b − + = 2 1 ise,m elemanlı ( )nbn a dizisinin elemanları toplamı 0 olan r elemanlı alt kümelerinin sayısı=Hr(m) Bu alt kümelere dengeli sayı kümeleri diyebiliriz. r=çift sayı olmak şartıyla; 2 +1 = − m n n a n m n b − + = 2 1 ise,m elemanlı ( )nbn a dizisinin elemanları toplamı 0 olan r elemanlı alt kümelerinin sayısı=dr(m) Bu alt kümelere dengeli sayı kümeleri diyebiliriz. Aslında sihirli seriler,pozitif tam sayılardan oluşan ortak farkı 1 olan aritmetik diziye ve toplama işlemine göre dengeli sayı kümelerinin alt grubudur. Dengeli sayı kümeleri ve sayı parçaları da amaçlı sayı gruplarının alt gruplarıdır. Ayrıca sihirli daireler,sihirli altıgenler,sihirli yıldızlar ve sihirli 4 boyutluların oluşturulmasında da kendileri için uygun olan sihirli seriler kullanılır.Bu sihirli seriler de toplama işlemine göre amaçlı sayı gruplarının alt gruplarıdır. Şimdi dengeli sayı kümeleri ve amaçlı sayı gruplarını tanıtalım: DENGELİ SAYI KÜMELERİ NEDİR? Bir  işlemsel ardışık dizinin,elemanlarının  işlemsel ortalaması o dizinin merkezi olan alt kümelerine  işlemine ve  işlemsel ardışık dizisine göre dengeli sayı kümeleri denir. Merkezi  işleminin birim elemanı olan  işlemsel ardışık dizisine ve  işlemine göre dengeli sayı kümeleri=  işlemine göre dengeli sayı kümeleri xy = x + y + a ve xyz = (xy)z e=  işleminin birim elemanı ise e=-a olur.Ve işlemine göre n elemanlı dengeli sayı kümeleri=elemanlarının aritmetik ortalaması –a olan n elemanlı amaçlı sayı kümeleri Bir ardışık dizinin,elemanlarının aritmetik ortalaması o dizinin merkezi olan alt kümelerine toplama işlemine ve o diziye göre dengeli sayı kümeleri denir.O ardışık dizinin merkezi 0 ise,o alt kümelere sadece toplama işlemine göre dengeli sayı kümeleri denebilir. Örnek: 1,17 aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümenin elemanları toplamı 36 olan 4 elemanlı alt kümelerine toplama işlemine ve 1,17 aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümeye göre dengeli sayı kümeleri denir. Örnek: 1,16 aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümenin elemanları toplamı 34 olan 4 elemanlı alt kümelerine toplama işlemine ve 1,16 aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümeye göre dengeli sayı kümeleri denir.Ayrıca bu kümelere sihirli kare için olan 4 elemanlı sihirli seriler de denir. 3 Örnek: − 8,8 aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümenin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerine toplama işlemine göre dengeli sayı kümeleri denir. AMAÇLI SAYI GRUPLARI NEDİR?  işlemine sokulduğunda belli bir sayıyı sonuç olarak veren,bir  işlemsel ardışık dizinin elemanlarından oluşan kümeler ve sıralılara  işlemine ve  işlemsel ardışık dizisine göre amaçlı sayı grupları denir. Elemanları toplamı belli bir sayıyı veren,bir ardışık dizinin elemanlarından oluşan kümeler ve sıralılara toplama işlemine ve o diziye göre amaçlı sayı grupları denir.Elemanları toplamı belli bir sayıyı veren kümeler ve sıralılara toplama işlemine göre amaçlı sayı grupları denir. Örnek: 1,17 aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümenin elemanları toplamı 37 olan 4 elemanlı alt kümelerine toplama işlemine ve 1,17 aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümeye göre amaçlı sayı grupları denir. Örnek:Elemanları toplamı 37 olan 4 elemanlı alt kümelerine toplama işlemine ve 1,17aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümeye göre amaçlı sayı grupları denir. Örnek:Elemanları toplamı 37 olan sayılarının yerleri önemsiz olan sıralılara da amaçlı sayı grupları denebilir.Ayrıca bu sıralılara 37’nin sayı parçaları da denir. Biz projemizde toplama işlemine göre amaçlı ve toplama işlemine göre dengeli sayı gruplarını inceledik. TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE AMAÇLI SAYI GRUPLARININ ALT GRUPLARI 1.)TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE AMAÇLI SAYI KÜMELERİ A)TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE DENGELİ SAYI KÜMELERİ a)SİHİRLİ SERİLER 2.)TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE AMAÇLI SAYI SIRALILARI 3.)SAYI PARÇALARI SİHİRLİ SERİLERLE DENGELİ SAYI KÜMELERİ ARASINDAKİ İLİŞKİ Hn(n2 )=sihirli kare için olan n elemanlı sihirli serilerin sayısı(n=tek sayı) dn(n2 )=sihirli kare için olan n elemanlı sihirli serilerin sayısı(n=çift sayı) Hn(n3 )=sihirli küp için olan n elemanlı sihirli serilerin sayısı(n=tek sayı) dn(n3 )= sihirli küp için olan n elemanlı sihirli serilerin sayısı(n=çift sayı) H5(25)=1394=sihirli kare için olan 5 elemanlı sihirli serilerin sayısı d4(16)=86=sihirli kare için olan 4 elemanlı sihirli serilerin sayısı H3(9)=8=sihirli kare için olan 3 elemanlı sihirli serilerin sayısı d2(4)=2=sihirli kare için olan 2 elemanlı sihirli serilerin sayısı H1(1)=1=sihirli kare için olan 1 elemanlı sihirli serilerin sayısı SİHİRLİ SERİLERLE AMAÇLI SAYI KÜMELERİ ARASINDAKİ İLİŞKİ Sihirli kare için olan n elemanlı sihirli serilerin sayısı=             +     n n n n . 2 1 2 2 1,  olur. Sihirli küp için olan n elemanlı sihirli serilerin sayısı=             +     n n n n . 2 1 3 3 1,  olur. (m) n b x    ,  =b, x aralığındaki tam sayılardan oluşan kümenin elemanları toplamı m olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı SORU: 3,19 aralığındaki tam sayılardan oluşan 17 elemanlı bir kümeden elemanlarının aritmetik ortalaması 11 olan 4 elemanlı kaç tane küme elde edilir? 4 TEOREM: a,a + m −1 aralığındaki tam sayılardan oluşan m elemanlı bir kümeden elemanlarının aritmetik ortalaması 2−1 + m a olan n elemanlı b tane küme elde edilir.m=tek sayı ise b=Hn(m) m=çift sayı ise b=dn(m) m=tek sayı ise b=Hn(m) olacağından; sonuç= H4(17) olur. TEOREM: 2 +1 = − m n n a n m n b − + = 2 1 ise,m elemanlı ( ) n b n a  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı=H4(m) ise, H4(m)= 144 120 2 60 3 36 22 36 36 8 2 18 3 4m − m + m − − a + b − c + c − c olur.m=tek sayı (mod 2) 2 1 a m  − (mod6) 2 1 c m  − m −1  b(mod 4) Yukarıdaki teoremde m yerine 17 yazarsak sonucu 104 olarak buluruz. Sonuç: H4(17)=104 olur. Bu teoremi bulmadan 6 ay önce aynı amaç için uzun bir algoritma olan aşağıdaki algoritmayı bulmuştum.Aşağıdaki algoritma da doğrudur;fakat aşağıdaki algoritmayı farklı bir yoldan bulduğum için üstteki teoremle bağlantısı yoktur. ALGORİTMA: 2 +1 = − n am m m n bm − + = 2 1 ise, n elemanlı (ambm) dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı şöyle bulunur: n=tek sayı=dizinin eleman sayısı n>10 2−1 = n x n  11veya5(mod12) ise, 67−5n =n  9veya3(mod12) ise, 6 15 − 5n  = n  1veya7(mod12) ise, 6 23 − 5n  = x  a(mod3)f x a = − 3 ( )( ) 6 . +1 . 2 +1 = f f f A =  f k A k :1 2 6 3 − 2 + 2 −15 = n x a K ( )()4. +1. −7= KKnB K=tek sayı ise,C= 12 12 3 K − K + K=çift sayı ise,C= 12 2 12 3 K + K + D= 72 4 1563 n − n −+3 −  0(mod 2) k K b bk=4 veya 5 olabilir.K=çift sayı ise,bk=4 olur.K=tek sayı ise bk=5 olur. bk=4 ise,v= 2 3K − 4 m= 2 3K − 8 bk=5 ise,v= 2 3K − 7 m= 2 3K − 5 E= 18 9 54 2 9 3 9 2 2 9 3 2v + v + v + m + m + m + 2 3 k K − b  =   0(mod3) olamaz.   2(mod3) ise;W= 54 51 130 2 15 3 4 −  −  +   1(mod3) ise;W= 54 15 140 2 21 3 4 −  −  + H4(n)=A+B+C+D-E+W ÖRNEK:H4(17) ifadesini yukarıdaki algoritmaya göre hesaplayalım. n=17 x=8 17  5(mod12) olduğundan; 6 7 − 5.17  = = -13 olur. 8  2(mod3) a=2 = = f − 2 3 8 2 5 6 2.3.5 A = = 4 6 3.17 2.8 2.2 15 = − + − K = 50 4 4.5.10 B = = 5 K=çift sayı olduğundan;C= 7 12 2.4 12 3 4 = + + D= 66 72 4.17 15 78 3 17 = − − − K=çift sayı olduğundan;bk=4 olur.bk=4 ise,v= 4 2 3.4 4 = − m= 2 2 3.4 8 = − E= 24 18 9.2 54 2 9.2 3 9.4 2.2 2 9.4 3 2.4 = + + + + + + 4 2 3.4 4 = −  = 4  1(mod3) olduğundan;W= 0 54 15.4 140 2 21.4 3 4.4 = − − + Sonuç=H4(17)=5+50+7+66-24+0=104 olur. SORU: an=2n+1 cn=37-2n ise; 17 elemanlı ( ) n c n a  dizisinin elemanları toplamı 76 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? TEOREM:an=b+(n-1).d cn=b+(m-n).d wn=n yn=m-n+1 m elemanlı ( ) n c n a dizisinin elemanları toplamı ( ) a b d m . 2 2 + −1 olan a elemanlı alt kümelerinin sayısı=m elemanlı ( ) n y wn  dizisinin elemanları toplamı a m . 2 +1 olan a elemanlı alt kümelerinin sayısı=R m=tek sayı ise,R=Ha(m) m=çift sayı ise, R=da(m) Yukarıdaki teoreme göre;b=3,d=2 ,a=4 ve m=17 olur.Buna göre; an=2n+1 cn=37-2n ise; 17 elemanlı ( ) n c n a  dizisinin elemanları toplamı 76 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı= 1,17 aralığındaki tam sayılardan oluşan 17 elemanlı bir kümenin elemanlarının toplamı 36 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı= H4(17)=104 olur. Sonuç: H4(17)=104 olur. SORU: Sihirli kare için olan 3 elemanlı sihirli serilerin sayısını bulunuz. TEOREM: k  d(mod 2) olmak şartıyla, 2 k 2 d n n a + − = − n k d n b −+ − = 2 2 ise,k elemanlı ( ) n b n a  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı şöyle bulunur: k  a(mod 4) a  p(mod 2) ise, H3(k)= ( ) 8 4 2 2 2 k − − p k + a − p olur.(d=0 ise k elemanlı ( ) n b n a  dizisinin içinde “0” sayısı bulunmaz.) − 4,4 aralığındaki tam sayılardan oluşan 9 elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı= H3(9)=Sihirli kare için olan 3 elemanlı sihirli serilerin sayısı 9  1(mod 4) k=9 a=1 1  1(mod 2) p=1 ise,Sonuç= H3(9)=8 olur. SORU:Sihirli kare için olan 4 elemanlı sihirli serilerin sayısını bulunuz. n=çift sayı ise; sihirli kare için olan n elemanlı sihirli serilerin sayısı=dn(n2 ) olur.Öyleyse; sihirli kare için olan 4 elemanlı sihirli serilerin sayısı= d4(16) olur. TEOREM: 2 +1 = − m n n a n m n b − + = 2 1 ise,m elemanlı ( ) n b n a  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı=d4(m) ise, d4(m)= 144 120 144 24 2 60 3 36 120 36 8 2 18 3 4m − m + m − − a − c + c − c + e − de m=çift sayı (mod 2) 2 a m  (mod6) 2 c m  (mod6) 2 2 d m  + d=e dir. Fakat d=0 olduğunda e=2 olur. Yukarıdaki teoremde m yerine 16 yazarsak sonucu 86 olarak buluruz. 6 Sonuç: d4(16)=86 olur. SORU: Sihirli kare için olan 5 elemanlı sihirli serilerin sayısını bulunuz. n=tek sayı ise; sihirli kare için olan n elemanlı sihirli serilerin sayısı=Hn(n2 ) olur.Öyleyse; sihirli kare için olan 5 elemanlı sihirli serilerin sayısı= H5(25) olur. Aşağıdaki algoritmada m yerine 25 yazarsak sonucu 1394 olarak buluruz. Sonuç: H5(25)=1394 olur. ALGORİTMA: m=tek sayı olmak şartıyla;an= 2 +1 − m n bn= n m − + 2 1 ise, m elemanlı ( )nbn a dizisinin elemanları toplamı 0 olan 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı=H5(m) olsun. x m = − 2 1 olsun. x  p(mod12) ise;p=0 için,N5(m)=2x-8 p=1 ve 5 için, N5(m)= 417x−185 p=2 ve 10 için, N5(m)=2x-20 p=3 için, N5(m)= 4 17x − 87 p=4 ve 8 için,N5(m)=2x-16 p=6 için, N5(m)=2x-12 p=7 ve 11 için,N5(m)= 4 17x −119 p=9 için,N5(m)= 4 17x −153x  u(mod 4) ise,T5(m)=  ( ) ( ) ( ) −       + − − + − + + −4 :1 30 4 42 15 4 4 3 2. 4 4 u x i n u n i u n i u n i u=0 için, iu=8 u=1 için, iu=9 u=2 için, iu=6 u=3 için, iu=7 u=0 için, fu=64 u=1 için, fu=225 u=2 için, fu=24 u=3 için, fu=21 T5(m)= 8 200 2 106 3 18 4 u x − x + x − x − f V5(m)= ( ) ()725 5Tm−Nmm=25 için, V5(m)=4 olur. TANIM:Bu m elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan n elemanlı(1 elemanı negatif n-1 elemanı pozitif veya n-1 elemanı negatif 1 elemanı pozitif)alt kümelerinin sayısı=Vn(m) olur. x  b(mod 2) A x b = − 2 B=A-2 C x b = − + 2 4 2x+1=D=m x-2=E ( )  ) ( )  ) ( )        −  −       +   −       −  = +  C n E n k n k B n n k k A n D n k m k :1 2 :1 . :1 2 4 :6 3 1, :1 2 :6 3 2 3 1,   TANIM: − x, x aralığındaki tamsayılardan oluşan kümenin elemanları toplamı 0 olan a+b elemanlı (a elmanı negatif b elmanı pozitif veya a elemanı pozitif b elemanı negatif)alt kümelerinin sayısı= (m) a+b  (m) a+b  de a  1 ve b  1 olur.m=2x+1 + x ZA  j(mod3) D  (mod6) ise; j=2,  = 5 ise, ( ) 17 8 5R m = A − j=2,  = 1 ise, R (m) 17A 5 = j=2,  = 3 ise, ( )1785Rm=A+j=1,  = 5 ise, ( ) 17 8 5R m = A − j=1,  = 1 ise, ( ) 17 8 5R m = A + j=1,  = 3 ise, R(m)17A5=j=0,  = 5 ise, R (m) 17A 5 = j=0,  = 1 ise, R (m) 17A 5 = j=0,  = 3 ise, R(m)17A5= -4A4 -28A3 -64A2+8A3D+42A2D+64AD-40A-6D2A 2 -21D2A+2AD3=F5(m) ( ) ( )  )  ( )        −  = − A n D n k k F m R m :1 2 :6 3 72 1, 5 5  B  1(mod3) ise, Y5(m)=8B-8 B 0(mod3)ise,Y5(m)=8B B  2(mod3) ise,Y5(m)=8B 7 ( )  )  ( )        +  = + + + − B n n k k B B B B Y m :1 2 4 :6 3 72 1, 5 20 2 28 3 20 4 4         − = + − − − + + − C n E n k n k E C E C EC EC EC C C C :1 2 :1 . 12 2 3 8 4 6 2 9 3 8 2 3 2 2 3 m=25 için, (m) 2+3  =701-39-102=542 olur. ( )  ) ( )  ) ( )       −  −       − − +   +       + −  = +  C n E n k n k B n x n k n k n n x k m k :1 2 :1 . :1 2 3 2 :2 5 3 1, 2 :1 2 2 5 :6 3 2 3 1,    ) ( )  ) ( )  )  ( )        − − +  =       +   −       − −  B n x n k n k B n n k k B n x n k k :1 2 3 2 :2 5 3 1, :1 2 4 :6 3 1, :1 2 3 2 :6 3 1,    TANIM:Bu m elemanlı kümenin içinde “0”sayısı bulunan ve elemanları toplamı 0 olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı=Un(m) olur. TEOREM:Hn-1(m)-Un-1(m)=Un(m) U6(m)=H5(m)-H4(m)+H3(m)-H2(m) U5(m)=H4(m)-H3(m)+H2(m) U4(m)=H3(m)-H2(m) U3(m)=H2(m) U2(m)=0 U1(m)=1 m=25 için,U5(25) =H4(25)-H3(25)+H2(25)= 362-72+12=302 olur. TANIM:Bu m elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı=Hn(m) TEOREM: n  a(mod 2) ve n>3 ise, Hn(m)= ( ) ( ) ( ) (m)Unn a k mn mV k n k +       − + + −  2 :2 2. Hn(m)= 2.(542 + 4)+ 302 =1394 olur.Cevap=1394 olur. DENGELİ SAYI KÜMELERİNİN AMAÇLI SAYI KÜMELERİYLE İLİŞKİSİ r=tek sayı olmak şartıyla; 2 +1 = − m n n a n m n b − + = 2 1 ise,m elemanlı ( )nbn a dizisinin elemanları toplamı b olan r elemanlı alt kümelerinin sayısı= (m) b n Hr=çift sayı olmak şartıyla; 2 +1 = − m n n a n m n b − + = 2 1 ise,m elemanlı ( )nbn a dizisinin elemanları toplamı b olan r elemanlı alt kümelerinin sayısı= (m) b n d ( ) (m) n Hn m H 0 = ( ) (m) n Vn m V 0 = ( ) (2 1) 1 :1 1, + +  =      x n m V x m n  m=tek sayı ise,   ( ) (m) b n b H n m m b n n m m =       − − =            + + 2 1 , 2 1 . 2 1 1,   m=çift sayı ise,   (m) b n b n d n m m =            + + . 2 1 1,  olur.    ) ( 2 2 1) 0 . 2 1 1, . 2 1 1, − + + − −             + +  =            + + mn n bn mn b n V n m b n n m m   Sayı parçaları ve sihirli serilerin toplama işlemine göre amaçlı sayı gruplarının alt grupları olduğunu gördüğümüze göre; şimdi bu amaçlı sayı gruplarının sayısını 8 hesaplamada (m) n b x    ,  kavramını kullanacağız.Öncelikle bu (m) n b x    ,  kavramına yardımcı olan sayı modelini tanıyalım. Bu sayı modelinde sayılar 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5 şeklinde aşağı doğru yazılmaktadır. Önce; (9) 2 1,        ve (10) 2 1,        ifadelerini modelden bulalım.1,1,2,2,3,3,4,4,5,5... dizisinin 1.elemanı (3) 2 1,        olduğuna göre; (9) 2 1,        =4 ve (10) 2 1,        =4 olur. (14)31,       = (11) 2 1,        + (8) 2 1,        + (5) 2 1,        olur. (18) 4 1,        = (14) 3 1,        + (10) 3 1,        + (6) 3 1,        Örnek olarak; (14) 3 1,        ifadesinin modele göre hesaplanışını inceleyelim. 1 → (6) 3 1,        1 2 2 1 3 1 3 2 4 2 1 4 3 1 5 3 2 → (14) 3 1,        Örnek olarak; (10) 3 1,        ifadesinin modele göre hesaplanışını inceleyelim. 1 → (6) 3 1,        1 2 2 1 3 1 → (10) 3 1,        Ve sonuç olarak; (18) 4 1,        ifadesinin modele göre hesaplanışını inceleyelim. 1 → (10) 4 1,        1 2 2 1 3 1 1 3 2 1 4 2 1 2 4 3 1 2 1 9 5 3 2 3 1 1 → (18) 4 1,        Şimdi de bu (m) n b x    ,  kavramıyla ilgili teoremleri görelim ve bir soru çözelim. TANIM: (m) n b x    ,  =b, x aralığındaki tam sayılardan oluşan kümenin elemanları toplamı m olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı TEOREM:       +       n k m k n :1 1,  =        −  − + − −      1 :1 mod :0 1 1, n k m nk k n m nm k n  olur. NOT: m  r(mod n) r = modn m olur. Yukarıdaki teoreme göre;       +       4 :1 8 4 1, k  k =       −  − + − −      4 1 :1 8 4 4 8 4 8 mod :0 4 1 1, k k k k  olur. Gerçekten de; (18) 4 1,        = ( k ) k 14 4 2 :0 3 1,  −       olur. (18) 4 1,        = (14) 3 1,       + (10)31,      + (6) 3 1,        olur. TEOREM: r( n) n k h k mod :1 −    ) ( )  )   − − −       − + −+−  =  n r n k h k k n k nk k n r n h n 1 :1 :1 1 :1 1 1, 1,   olur. Yukarıdaki teoreme göre;h=18,n=4 olursa;r=0 olur. Gerçekten de;  ) ( )  )  ( + )  =  3 :1 4 2 3 1, 18 4 1, k   k olur. (18) 4 1,        = (14) 3 1,       + (10)31,      + (6) 3 1,        olur. TEOREM: k  h(mod6) ise,  ) ( ) ( ) 12 6 6 . 2 3 1, k k h h k − + − =   (h  0) h=0 ise  ) ( ) 12 6 12 2 3 1, − + =  k k  k olur. TEOREM: ( ) 2 2 2 mod 2 1, + − =      n n  n SORU:Her elemanı pozitif tam sayı olan,elemanları toplamı 20 olan 3 elemanlı ve 2 elemanlı sayı kümelerinin sayısı kaçtır? Yukarıdaki teoreme göre;k=20,h=2 ise;  ) ( ) ( ) 12 6.20 6 2 .2 2 20 20 3 1, − + − =   =24 olur. ( ) 2 20 2 2 20 mod 20 2 1, + − =       =9 Sonuç=24+9=33 olur. TEOREM: a n k  k = −1 :1 ise,   ( )  ) ( )  )  ( ) − + − −+ −  + = a y x k a k n a y n a y n x 1 : 1 1, 1, 1,    10 YUKARIDAKİ TEOREMİN ŞARTI: 1, x sayı aralığındaki x için;  ) ( 3) 2 1, − +  x  y − y n olmalıdır. TEOREM:   ( )  ) ( ) (2 2 1) 1, 1, − − −  = m x m Vn n m n x   Bu teorem de yukarıdaki teoremden elde edildi. Yukarıdaki  ) (k ) 3 1,  , (n) 2 1,        ve   (a y) n x + 1,  teoremlerinden aşağıdaki (n)x31, ve   (n) x 2 1,  teoremleri elde edildi. TEOREM: n  c(mod6) ise,   ( ) 12 3212 6 12 932 6 2 3 6 2 1, n n c c r nx x xbn x − + − + + − −−− = olur. n −1− x  b(mod 2) c=0 ise r=1 dir. c  0 ise r=0 dır. Bu teoremde  ) ( 3) 2 1, 3 −  x  n − − n olmalıdır. TEOREM: n  a(mod 2) ise   ( ) 2 2 2 1, x n a n x − +  = SORU: 1,10 aralığındaki tam sayılardan oluşan kümenin elemanları toplamı 22 olan 3 elemanlı ve 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?Cevap: ( ) (22)21,10 22 3 1,10          + 22  4(mod6) dir. 22 −1−10  1(mod 2) dir.Bundan dolayı;   ( ) 12 3 2 12 6 12 9 3 2 6 2 3 6 2 1, n n c c r nx x x b n x − + − + + − − − −  = teoreminde n yerine 22,c yerine 4,r yerine 0,b yerine 1,x yerine 10 yazılırsa (22) 3 1,10     =5 olur.Gerçektende 5 küme vardır. Bunlar: 3,9,10, 4,8,10,5,7,10,5,8,9,6,7,9 dur. 22  0(mod 2) dir.Bundan dolayı;   ( ) 2 2 2 1, x n a n x − +  = teoreminde n yerine 22,a yerine 0,x yerine 10 yazılırsa   (22) 2 1,10  = -1 çıkar.Sonucun –1 çıkması böyle bir küme olmadığını gösterir. NOT: Sonucun negatif çıkması böyle bir küme olmadığını gösterir. Cevap=5+0=5 olur. Yukarıdaki sayı modelinden bir model daha elde ettik ve böylece yeni bir kavramla daha karşılaştık.Şimdi bu yeni modelle yukarıdaki modeli karşılaştıralım. (m) n     1,  ifadesinin sayı modelinin sayıları alttan üste doğru ikişer ikişer toplanır ve toplamlarla elde edilen yeni sayılar soldan sağa doğru yazılır.5+4=9 4+3=7 3+3=6 gibi. (9) 4 ifadesinin sayı modeli aşağıdaki gibidir: (m) n     1,  ifadesinin sayı modeli şudur: 9 7 5 3 1 → (9) 2 (9) 3 (9) 4 1 →(10) 4 1,        6 4 2 → (6) 2 1 3 1 → (3) 2 2 11 2 1 5 3 1 → (5) 2 (5) 3 3 1 1 2 → (2) 2 3 2 1 4 2 1 2 1 → (1) 2 (1) 3 4 3 1 2 1 5 3 2 3 1 1 →(18) 4 1,       ( ) (9) 4 18 :10 4 1,   =       k k Yukarıdaki teoreme göre;9+7+5+3+1= (9) 2 6+4+2= (6) 2 (9) 3 = (9) 2 + (6) 2+ (3)2ve (9) 4 = (9) 3 + (5) 3 + (1) 3 5+4+4+3+3+2+2+1+1= ( ) (9) 2 11 :3 2 1,  =       k k ( ) (9) 3 14 :6 3 1,   =       k k olur. (m) n sayı modelinde sol üst köşedeki sayı hep “m”olur. Bu yeni modelden elde edilen (m) n kavramıyla ilgili teoremleri inceleyelim ve bir soru çözelim. TEOREM:Elemanları toplamı        − + 1 :1 n k m k dan küçük n elemanlı her elemanı doğal sayı olan (m) n tane küme vardır. SORU: Elemanları toplamı 15 den küçük 4 elemanlı her elemanı doğal sayı olan kaç tane küme vardır?        − + 1 :1 n k m k =15 n=4 ise;m=9 olur.Sonuç= (9) 4 olur.Yukarıdaki modele göre; (9)4= (9)3+ (5) 3 + (1) 3 = (9) 2 + (6) 2 + (3) 2 + (5) 2 + (2) 2 + (1) 2 =25+12+4+9+2+1=53 Sonuç=53 olur. TEOREM: ( )  ( ) − + = − + 2 2 2 mod :1 2 2 2 mod 2 m m k  m k m 1 (m) = mm  r(mod n) ise, r = modn m olur. (1) = 1 n (0) = 0 n TEOREM: ( )  ( ) − + − + − = n m n m n k nk n n m n n m mod :1 mod 1   Bu (m) n ve (m) 2 teoremleri sayesinde aşağıdaki (m) 3 ve (m) 4 teoremlerini elde ederiz. 12 TEOREM: ( )  ( ) − +        − + = − + 3 3 3 mod :1 1 2 2 2 mod :1 2 2 2 mod 2 2 3 m m k w w k  m k w k m33 mod1 3 − +=w TEOREM: k − + m = a 1 mod4 4 4 3k2 − 3 + mod3 a = b ise; ( )  ( ) − +        − +        − + = − + 4 4 4 mod :1 1 3 3 3 mod :1 2 2 2 2 mod :1 3 2 2 mod 3 2 4 m m k a a k b b k  m k b SORU:Elemanları toplamı 15 den küçük 3 elemanlı her elemanı doğal sayı olan kaç tane küme vardır?        − + 1 :1 n k m k =15 n=3 ise;m=12 olur.Sonuç= (12) 3 olur. 12  0(mod3) olduğundan; 12 0 3 mod = olur. ( )  ( ) =  ( − ) − + − + − = 5 :1 3 3 2 3 12 3 3 12 mod :1 12 3 3 3 mod 3 1 12 3 k k k   k  = (12) 2 + (9) 2+ (6)2+ (3) 2 + (0) 2 ( )  ( ) − + = − + 2 12 2 2 12 mod :1 12 2 12 2 2 mod 2 k  k 12 2 mod =0 (12) 2 =0+2+4+6+8+10+12=42 olur. (9) 2 =1+3+5+7+9=25 (6) 2 =0+2+4+6=12 (3)2=1+3=4 (0) 2 =0 (12) 3 =42+25+12+4+0=83 olur.Sonuç:83 Şimdi (m) n kavramı ile (m) n b x    ,  kavramının diğer teoremlerine geçelim. TEOREM:  =  − − 1 :1 k m n m ise  ) ( )   ( )   (n) k h n k n k 1, 1, 1,   =   =   h  TEOREM:  ) (m) n  a, =  ) ( )   (m) n a m n 1, 1, −1 −    TEOREM: ( )   (n) a d c n a a c a c d 1, 1 . , − + − + =       TEOREM: ( ) ( ) (m) n b m n b m n b 1 0, 1, 1, − − =                SORU:Her elemanı doğal sayı olan ve içinde “0” sayısı bulunan,elemanları toplamı 18 olan 5 elemanlı sayı kümelerinin sayısı kaçtır? Cevap= ( ) ( ) (18) 4 1, 18 5 1, 18 5 0,                 =  −     (18) 4 1,        =15 olur.Sonuç=15 olur. 13 TEOREM:  )  ( )  =      − b k c k a a n : 1, 1   − −  − − = n a k k n k b k 1 :1 1 :1 =  a k c k :1 a a a b n 2 2 2 + + = b=k.a+c k  N k herhangi bir doğal sayı olabilir. SORU:  )  ( )  24 :6 3 1, k  k ifadesi kaça eşittir?b=24,a=3,c=6 ise;n=10 olur.  )()24 :6 31, k  k= 39=84 Sonuç=84 olur. TEOREM:  ) ( ) (m) n m n n k m k n   =  + −      +   1 :1 0, TEOREM: ( ) ( ) (m n) n m n m + n − −  =   1 ÖRNEK: ( ) ( ) (5) 4 9 3 9 4 =  + 53=41+12 olduğuna göre;teorem doğrudur. TEOREM: e a c k  k = −1+ .1 ise,   ( ) ( 1) :  , = a h − e + h k e k a  c  olur. SORU:  ( )     23 :15 4 2, k  k ifadesi kaça eşittir? e=15,c=2,a=4,h=23 ise; ( ) (23 15 1) 4 23 :15 4 2,  = − +       k k olur. Sonuç= (9) 4 =53 olur. (m) n b x    ,  KAVRAMIYLA İLGİLİ MAKSİMUM ,MİNİMUM VE MODÜLER HESAPLAMALAR TANIM: (m) n a b x k d     max , mod  =b, x aralığındaki mod d ye göre k ya denk olan tam sayılardan oluşan kümenin içinde “a” sayısı en büyük sayı olarak bulunan elemanları toplamı m olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı TEOREM: m  0(modb) ise,  )  )  ) ( )      + −+ =      +    =      +   n k mbk b dn a b n k k b n n m k m bk b n :1 1, mod :1 1, :1 1, mod 0    a=0 ise,d=b olur. a  0 ise,d=a olur. SORU:Mod 4 e göre 2 ye denk olan pozitif tam sayılardan oluşan bir kümenin elemanları toplamı 78 olan 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?  )  ) ( )       +  − +  =      +   3 :1 4 4 2 3 1, 2 4 3 mod 4 :1 3 1, k m k k k m   + ( − + ) 3 :1 4 4 2 k m k =78 olduğuna göre;m=60 olur.Cevap=  ) (21) 3 1,  olur.Sonuç=  ) (21) 3 1,  =8+7+5+4+2+1=27 olur. Şimdi bu sayı kümelerini görelim. 2,6,70,2,10,66,2,14,62,2,18,58,2,22,54,2,26,50,2,30,46,2,34,42,→8 tane 6,10,62,6,14,58,6,18,54,6,22,50,6,26,46,6,30,42,6,34,38,→7 tane 10,14,54,10,18,50,10,22,46,10,26,42,10,30,38,→5 tane 14,18,46,14,22,42,14,26,38,14,30,34,→ 4 tane 18,22,38,18,26,34,→ 2 tane 22,26,30 → 1 tane 1 →  ) (6) 3 1,  14 1 2 2 1 3 1 3 2 4 2 1 4 3 1 5 3 2 5 4 2 1 6 4 3 1 6 5 3 2 7 5 4 2 1 7 6 4 3 1 8 6 5 3 2 → (20) 3 1,        8 7 5 4 2 1 →  ) (21) 3 1,  TEOREM:  ) ( )   ( )   (m) n a m n a m n a max 1, 1, 1, −1 = −     SORU:Her elemanı pozitif tam sayı olan kümenin içinde “11” sayısı en büyük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 21 olan 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Cevap:  ) ( )   ( )   (21) 3 1,10 21 3 1,11 21 3 max11 1,  =  −  a n k  k = −1 :1 ise,   ( )  ) ( )  )  ( ) − + − −  + −  + = a y x k a k n a y n a y n x 1 : 1 1, 1, 1,    3 3 1 :1  = − k k ise,   ( )  ) ( )  )  ( )  −  + = 9 :3 2 1, 21 3 1, 3 18 3 1,11 k    k a=3,x=11,n=3,y=18 3 3 1 :1  = − k k ise,   ( )  ) ( )  )  ( )  −  + = 10 :3 2 1, 21 3 1, 3 18 3 1,10 k    k a=3,x=10,n=3,y=18 O halde cevap:   ( )   (21) 3 1,10 21 3 1,11  − =  ) ( )  )  ( )  −  9 :3 2 1, 21 3 1, k   k -  ) ( )  ) ( )        −  10 :3 2 1, 21 3 1, k   k = (10) 2 1,        =4 olur.Sonuç=4 olur. Şimdi bu sayı kümelerini görelim. 1,9,11,2,8,11,3,7,11,4,6,11 TEOREM: Her elemanı pozitif tam sayı olan kümenin içinde “a” sayısı en büyük sayı olarak bulunan elemanları toplamı m olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı=  ) (m)nmaxa 1, = (m a) n − −      1 1,  olur. SORU: Her elemanı pozitif tam sayı olan kümenin içinde “21” sayısı en büyük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 41 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Cevap:  ) (41) 4 max21 1,  = (m a) n − −      1 1,  = (20) 3 1,        =8+6+5+3+2=24 olur. Şimdi bu sayı kümelerini görelim. 1,2,17,21,1,3,16,21,1,4,15,21,1,5,14,21,1,6,13,21,1,7,12,21,1,8,11,21,1,9,10,21→8 15 2,3,15,21,2,4,14,21,2,5,13,21,2,6,12,21,2,7,11,21,2,8,10,21 →6 tane 3,4,13,21,3,5,12,21,3,6,11,21,3,7,10,21,3,8,9,21→5 tane 4,5,11,21,4,6,10,21,4,7,9,21 → 3 tane 5,6,10,21,5,7,9,21 → 2 tane TEOREM:  ) ( )  ) ( )  )  ( )      −  − + −  =  :1 min 1, 1, 1, k m kf k m kf k k m f    TEOREM:   ( )  )  ( ) −  = − 1 :1 1, 1 max 1, a k m n k m n a   TEOREM:  ) ( )  ) ( )  )  ( )  +  =  −  : 1 min 1, , min 1, k a mn k m n m a n a    TEOREM:Her elemanı pozitif tam sayı olan kümenin içinde “a” sayısı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı m olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı= (m)na     min 1, = (m a n) n . 1 1, − −       SORU:Her elemanı pozitif tam sayı olan kümenin içinde “3” sayısı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 21 olan 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Cevap: (21) 3 min 3 1,        = (21 3.3) 2 1, −       (12) 2 1,        =5 Sonuç=5 Şimdi bu sayı kümelerini görelim. 3,4,14,3,5,13,3,6,12,3,7,11,3,8,10 TEOREM:Mod b e göre a ya denk olan pozitif tam sayılardan oluşan bir kümenin içinde “e” sayısı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı + ( − + ) n k m bk b d :1 olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı = ( )      +  − +      n k m bk b d n e a b :1 min 1, mod  =  )       +         − + n k k b n m b e d b :1 1, min  =       − + +  − −      n b n e d b k k b n m . :1 1 1,  a=0 ise,d=b olur. a  0 ise,d=a olur. SORU:Mod 4 e göre 2 ye denk olan pozitif tam sayılardan oluşan bir kümenin içinde “10” sayısı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 78 olan 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? + ( − + ) n k m bk b d :1 =78 ve b=4,d=2,n=3 ise;m=60 olur. b e − d + b =3 ve + n k k b m:1 =21 olur. Cevap: (78) 3 min10 1, 2 4 mod        =  ) (21) 3 min 3 1,  = (12) 2 1,        =5 Sonuç=5 Şimdi bu sayı kümelerini görelim. 10,14,54,10,18,50,10,22,46,10,26,42,10,30,38→5 tane Şimdi yukarıdaki teoremlere göre minimum teoremi ile maksimum teoremini karşılaştıralım. (m) n a     min 1,  = (m a n) n . 1 1, − −       16  ) (m) n maxa 1,  = (m a) n − −      1 1,  olur. TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE DENGELİ SAYI KÜMELERİYLE İLGİLİ DİĞER TEOREMLER TANIM: − x, x aralığındaki tamsayılardan oluşan kümenin elemanları toplamı 0 olan a+b elemanlı (a elmanı negatif b elmanı pozitif veya a elemanı pozitif b elemanı negatif)alt kümelerinin sayısı= (m) a+b  (m) a+b  de a  1 ve b  1 olur.m=2x+1 + x ZTANIM:Bu m elemanlı kümenin içinde “0”sayısı bulunan ve elemanları toplamı 0 olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı=Un(m) olur. TANIM:Bu m elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan n elemanlı(1 elemanı negatif n-1 elemanı pozitif veya n-1 elemanı negatif 1 elemanı pozitif)alt kümelerinin sayısı=Vn(m) olur. TANIM:Bu m elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı=Hn(m) TEOREM: n  a(mod 2) ve n>3 ise, Hn(m)= ( ) ( ) ( ) (m)Unn a k mn mV k n k +       − + + −  2 :2 2. TEOREM: h x a k k x k k  = −  − :1 :1 r a k  k = :1 ise    ( )      h k r k a x : 2 1,  =Bu m elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan 2a elemanlı(a elemanı negatif,a elemanı pozitif)alt kümelerinin sayısı= (m) a+a TEOREM:b>a ise, h x a k k x k k  = −  − :1 :1 r b k  k = :1   ( )    ( )       h k r k b x k a x : 1, . 1, 2.   =Bu m elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan a+b elemanlı(a elemanı negatif b elemanı pozitif ve a elemanı pozitif b elemanı negatif) alt kümelerinin sayısı= (m) a+b 2. TEOREM: ( )   ( )   ( )   ( )   ( ) ()22 1:3 21, :6 3 1, 2. :10 4 1, 2. 2 1 :6 3 1, . 2 1, 2. 5 −    +  +  + −       = x n nxn x n x n x n x x n n x n x H m     2. ( (m) V (m)) 2 3 5 + +  = U5(m)=   ( )   ( ) 2 2 1 :3 2 1, :6 3 1, 2.  −        + x n n x n x n x   x m = − 2 1 TEOREM: 2 + 2 = − m n n a n m n b − + = 2 2 ise, m elemanlı içinde “0”sayısı bulunmayan ( ) n b n a  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı=H4(m+1)- U4(m+1) =U5(m+1) U5(m+1)= 144 120 2 60 3 84 36 8 2 24 3 4m − m + m − a − c + c − c m=çift sayı (mod 2) 2 a m  (mod 6) 2 c m  SORU: − 8,8 aralığındaki tamsayılardan oluşan fakat içinde “0” sayısı bulunmayan 16 elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?   ( )   ( )   (n) x n x x n n x n x  +  −       :10 4 1, 2. 2 1 :6 3 1, . 2 1, 2.    17 Yukarıdaki teorem uygulanır. Cevap= H4(17)-U4(17) =U5(17) U5(17)= 144 120 2 60 3 84 36 8 2 24 3 4m − m + m − a − c + c − c m yerine 16 yazarsak;sonucu 80 olarak buluruz.Sonuç=80 olur. TEOREM: m  d(mod 2) olmak şartıyla, 2 m 2 d n n a + − = − nmd n b −+ − = 2 2 ise,m elemanlı ( ) n b n a  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı(2 pozitif 2 negatifli) alt kümelerinin sayısı=D d=0 ise, m elemanlı ( ) n b n a  dizisinin içinde 0 bulunmaz. ( ) ( ) 48 8 9 12 12 2 3 1 3 m d m d m d a D − + + + − − = (mod 2) 2 a m d  − SORU: − 8,8 aralığındaki tamsayılardan oluşan 17 elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı(2 pozitif 2 negatifli) alt kümelerinin sayısı kaçtır? Yukarıdaki teorem uygulanır.m yerine 17,d yerine 1,a yerine 0 yazarsak;sonucu 72 olarak buluruz. Sonuç=72 olur. SORU: − 8,8 aralığındaki tamsayılardan oluşan ve içinde “0” sayısı bulunmayan 16 elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı(2 pozitif 2 negatifli) alt kümelerinin sayısı kaçtır? Yukarıdaki teorem uygulanır.m yerine 16,d yerine 0,a yerine 0 yazarsak;sonucu 72 olarak buluruz. Sonuç=72 olur. TEOREM:m=çift sayı olmak şartıyla, 2 +1 = − m n n a n m n b − + = 2 1 ise,m elemanlı ( ) n b n a  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı(2 pozitif 2 negatifli) alt kümelerinin sayısı bulunurken yukarıdaki teorem uygulanır.d=0 olur. SORU: = n − 8,5 n a n n b = 8,5 − ise,16 elemanlı ( ) n b n a  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı(2 pozitif 2 negatifli) alt kümelerinin sayısı kaçtır? ( ) ( ) 48 8 9 12 12 2 3 1 3 m d m d m d a D − + + + − − = (mod 2) 2 a m d  − teoremi uygulanır ve bu teoremde m yerine 16,d yerine 0,a yerine 0 yazarsak;sonucu 72 olarak buluruz.Sonuç=72 olur. NOT:Bu sorudaki 16 elemanlı küme − 7,5;−6,5;−5,5;−4,5;−3,5;−2,5;−1,5;−0,5;0,5;1,5;2,5;3,5;4,5;5,5;6,5;7,5 kümesidir. TEOREM:m=çift sayı olmak şartıyla, 2 +1 = − m n n a n m n b − + = 2 1 ise,m elemanlı ( ) n b n a  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı =F F=D+M TEOREM: m  d(mod 2) olmak şartıyla, 2 m 2 d n n a + − = − nmd n b −+ − = 2 2 ise,m elemanlı ( ) n b n a  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı(1 pozitif 3 negatifli ve 3 pozitif 1 negatifli) alt kümelerinin sayısı=N d=0 ise,m elemanlı ( ) n b n a  dizisinin içinde “0” bulunmaz.N= ( ) ( ) 144 120 2 60 3 60 33 76 8 2 15 3 3 m − + d m + + d m − d − c + c − c (mod6)2 cmd−SORU: − 8,8 aralığındaki tamsayılardan oluşan 17 elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı(1 pozitif 3 negatifli ve 3 pozitif 1 negatifli) alt kümelerinin sayısı kaçtır? 18 Yukarıdaki teorem uygulanır.d yerine 1,m yerine 17,c yerine 2 yazarsak;sonucu 8 olarak buluruz. Şimdi bu alt kümeleri görelim. − 8,1,2,5,− 8,1,3,4,− 7,1,2,4,− 6,1,2,3,8,−1,−2,−5,− 8,−1,−3,−4,− 7,−1,−2,−4, − 6,−1,−2,−3 Görüldüğü gibi böyle alt kümelerin sayısı 8’dir. Aşağıdaki teoremle de bunu ispatlayalım. TEOREM: ( ) (2 1) 1 :1 1, + +  =      x n m V x m n  m  c(mod6) ise, ( ) 72 30 2 15 3 2 72 30 2 15 3 2 2 1 4 m m m c c c V m − + − − + + = (2 1) 0 4V c + = 72 5 75 :0 72 30 2 15 3 2  =       − + m m m m Yukarıdaki soruda bizden istenen cevap aslında (17) 4V nin 2 katıdır.Bu da (m)m     8 :1 31, ifadesinin 2 katına yani 8’e eşittir.2 katı olmasının sebebi soruda 1 pozitif 3 negatifli ve 3 pozitif 1 negatifli alt kümeleri istemesindendir.Yani;sadece 1 pozitif 3 negatifli veya 3 pozitif 1 negatifli alt kümeleri isteseydi,cevap= (17) 4V =4 olurdu. SORU: − 8,8 aralığındaki tamsayılardan oluşan ve içinde “0” sayısı bulunmayan 16 elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı(1 pozitif 3 negatifli ve 3 pozitif 1 negatifli) alt kümelerinin sayısı kaçtır? Yukarıdaki teorem uygulanır.d yerine 0,m yerine 16,c yerine 2 yazarsak;sonucu 8 olarak buluruz. TEOREM:m=çift sayı olmak şartıyla, 2 +1 = − m n n a n m n b − + = 2 1 ise,m elemanlı ( ) n b n a  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı(1 pozitif 3 negatifli ve 3 pozitif 1 negatifli) alt kümelerinin sayısı=M M= 144 120 144 24 2 60 3 12 120 8 2 9 3 m − m + m − − c + c − c + e − de m=çift sayı (mod6)2 c m(mod6) 2 2 d m  + d=e dir. Fakat d=0 olduğunda e=2 olur. SORU: − 7,5;−6,5;−5,5;−4,5;−3,5;−2,5;−1,5;−0,5;0,5;1,5;2,5;3,5;4,5;5,5;6,5;7,5kümesinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı(1 pozitif 3 negatifli ve 3 pozitif 1 negatifli) alt kümelerinin sayısı kaçtır? Yukarıdaki teorem uygulanır.m yerine 16,c yerine 2,d yerine 3,e yerine 3 yazarsak;sonucu 14 olarak buluruz. Şimdi bu alt kümeleri görelim. − 7,5;0,5;1,5;5,5,− 7,5;0,5;2,5;4,5,− 7,5;1,5;2,5;3,5,− 6,5;0,5;1,5;4,5,− 6,5;0,5;2,5;3,5, − 5,5;0,5;1,5;3,5,− 4,5;0,5;1,5;2,5,7,5;−0,5;−1,5;−5,5,7,5;−0,5;−2,5;−4,5, 7,5;−1,5;−2,5;−3,5,6,5;−0,5;−1,5;−4,5,6,5;−0,5;−2,5;−3,5,5,5;−0,5;−1,5;−3,5, 4,5;−0,5;−1,5;−2,5 Görüldüğü gibi böyle alt kümelerin sayısı 14’dür. 19 TEOREM:m=tek sayı olmak üzere, 2 +1 = − m n n a n m n b − + = 2 1 ise,m elemanlı ( ) n b n a  dizisinin elemanları toplamı 0 olan içinde 0 bulunan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı=T T= 8 6 5 2 2 m − m + + b m −1  b(mod 4) SORU: − 8,8 aralığındaki tamsayılardan oluşan 17 elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan içinde 0 bulunan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Yukarıdaki teorem uygulanır.m yerine 17,b yerine 0 yazarsak;sonucu 24 olarak buluruz. Sonuç=24 olur. Şimdi bu alt kümeleri görelim. − 8,0,1,7,− 8,0,2,6,− 8,0,3,5,− 7,0,1,6,− 7,0,2,5,− 7,0,3,4,− 6,0,1,5,−6,0,2,4, − 5,0,1,4,− 5,0,2,3,− 4,0,1,3,− 3,0,1,2,8,0,−1,−7,8,0,−2,−6,8,0,−3,−5,7,0,−1,−6, 7,0,−2,−5,7,0,−3,−4,6,0,−1,−5,6,0,−2,−4,5,0,−1,−4,5,0,−2,−3,4,0,−1,−3, 3,0,−1,−2 Görüldüğü gibi böyle alt kümelerin sayısı 24’dür. TEOREM: m  d(mod 2) olmak şartıyla, 2 m 2 d n n a + − = − nmd n b −+ − = 2 2 ise,m elemanlı ( ) n b n a  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı=H d=0 ise,m elemanlı ( ) n b n a  dizisinin içinde “0” bulunmaz.d=0 ise H=D+N d=1 ise H=D+N+T olur. TEOREM:m=çift sayı olmak şartıyla, 2 +1 = − m n n a n m n b − + = 2 1 ise,m elemanlı ( ) n b n a  dizisinin elemanları toplamı 0 olan r elemanlı alt kümelerinin sayısı=dr(m)dir. r=çift sayı ve r>2 ise, dr(m)= ( )      −  + −  + − + +      2 1 2 1, 3 2. 1 r m r m r r U  olur. r=tek sayı ise, dr(m) =0 olur. r=2 ise, d2(m)= ( )        − +      2 1 1, 1 3 mU m  olur. SORU: 2 17 an = n − n n b = − 2 17 ise,16 elemanlı ( ) n b n a  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? r=4,m=16 r=çift sayı ve r>2 olduğundan;cevap= d4(16)= ( ) (9) 3 1, 17 2. 5      U +  =80+6=86 dır. SORU: − 7,5;−6,5;−5,5;−4,5;−3,5;−2,5;−1,5;−0,5;0,5;1,5;2,5;3,5;4,5;5,5;6,5;7,5kümesinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Cevap=d4(16)= ( ) (9) 3 1, 17 2. 5       U +  olur. (17) 5 U =80 ve (9) 3 1,        =3 olduğundan; sonuç=86 olur. TEOREM:an=n-x bn=x-n ise 2x-1 elemanlı ( ) n b n a  dizisinin elemanları toplamı 0 olan f elemanlı alt kümelerinin sayısı=y Bu ( ) n b n a  dizisinin içinde “k” elemanı olmayan elemanları toplamı “–k” olan f-1 elemanlı alt kümelerinin sayısı=b ise, y x k x b =− − 1 :1 olur. 20 SORU: an=n-9 bn=9-n ise 17 elemanlı ( ) n b n a  dizisinin içinde “k” elemanı olmayan elemanları toplamı “–k” olan 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı=b ise, − − 1 :1 x k x b ifadesi kaça eşit olur?Yukarıdaki teoreme göre;cevap= (17) 4 H =104 olur. TEOREM: a,a + m −1 aralığındaki tam sayılardan oluşan m elemanlı bir kümeden elemanlarının aritmetik ortalaması 2−1 + m a olan n elemanlı b tane küme elde edilir.m=tek sayı ise b=Hn(m) m=çift sayı ise b=dn(m) TEOREM:m=çift sayı ise a,a + m aralığındaki tam sayılardan oluşan içinde 2ma+sayısı bulunmayan m elemanlı bir kümeden elemanlarının aritmetik ortalaması 2 ma + olan n elemanlı c tane küme elde edilir.c=Un+1(m+1) SORU: 2,18 aralığındaki tam sayılardan oluşan içinde “10” sayısı bulunmayan 16 elemanlı bir kümeden elemanlarının aritmetik ortalaması 10 olan 4 elemanlı kaç tane küme elde edilir? Yukarıdaki teoreme göre;cevap: U5(17)= H4(17)-U4(17) =80 olur. TEOREM:Hn-1(m)-Un-1(m)=Un(m) TEOREM:an=b+(n-1).d cn=b+(m-n).d wn=n yn=m-n+1 m elemanlı ( ) n c n a dizisinin elemanları toplamı ( ) a b d m . 2 2 + −1 olan a elemanlı alt kümelerinin sayısı=m elemanlı ( ) n y wn  dizisinin elemanları toplamı a m . 2 +1 olan a elemanlı alt kümelerinin sayısı=R m=tek sayı ise,R=Ha(m) m=çift sayı ise, R=da(m) TEOREM: k  d(mod 2) olmak şartıyla, 2 k 2 d n n a + − = − nk d n b −+ − = 2 2 dizileri veriliyor.d=0 ise,k elemanlı ( ) n b n a  dizisinin içinde “0”sayısı bulunmaz. b= k elemanlı aritmetik dizinin içinde r.elemanı olan elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı c=k elemanlı aritmetik dizinin içinde r.elemanı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı H (k ) d k r 4 2 − +2 −2 =b H (k ) d k r 4 2 min − +2 −2 =c  =  1 :1 1 :1 r c r b 1 2 :2 2 :2  = + r c r b 33:33 :3 =+r c r b TEOREM:Bu k elemanlı aritmetik dizinin içinde 1.elemanı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı şöyle bulunur: 1) k  3,5,9veya11(mod12) ise 12 2 3 2 k − k − olur. 2) k  0(mod12) ise 12 3 122 k − k +olur. 3) k  1veya7(mod12) ise ( ) 12 2 k −1 olur. 4) k  2veya10(mod12) ise 12 3 2 2 k − k +olur. 5) k  4veya8(mod12) ise 12 3 8 2 k − k + olur. 6) k  6(mod12) ise 12 3 6 2 k − k + olur. SORU: = n −11 n a n n b = 11− ise;21 elemanlı ( ) n b n a  dizisinin içinde “-10” sayısı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? “-10” sayısı ( ) n b n a  dizisinin 1.elemanıdır yani ilk elemanıdır. 21 Cevap: (21) min 10 4 H − olur. Yukarıdaki teoreme göre;k=21 ise, 21  9(mod12) olduğundan, 12 2 3 2 k − k − ifadesinde k yerine 21 yazılır.Sonuç=33 olur. Şimdi bu sayı kümelerini görelim. −10,−9,9,10,−10,−8,8,10,−10,−7,7,10,−10,−7,8,9,−10,−6,6,10,−10,−6,7,9, −10,−5,5,10,−10,−5,6,9,−10,−5,7,8,−10,−4,4,10,−10,−4,5,9,−10,−4,6,8, −10,−3,3,10,−10,−3,4,9,−10,−3,5,8,−10,−3,6,7,−10,−2,2,10,−10,−2,3,9, −10,−2,4,8,−10,−2,5,7,−10,−1,1,10,−10,−1,2,9,−10,−1,3,8,−10,−1,4,7, −10,−1,5,6,−10,0,1,9,−10,0,2,8,−10,0,3,7,−10,0,4,6, −10,1,2,7,−10,1,3,6, −10,1,4,5,−10,2,3,5 Görüldüğü gibi toplam 33 tanedir. TEOREM:Bu k elemanlı aritmetik dizinin içinde 2.elemanı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı şöyle bulunur: 1) k  1,5,7veya11(mod12) ise 12 25 2 k − olur. 2) k  2(mod12) ise 12 14 2 k − k − olur. 3) k  3veya9(mod12) ise 12 21 2 k − olur. 4) k  0veya4(mod12) ise 12 24 2 k − k − olur. 5) k  6veya10(mod12) ise 12 18 2 k − k − olur. 6) k  8(mod12) ise 12 20 2 k − k − olur. SORU: = n −11 n a n n b = 11− ise;21 elemanlı ( ) n b n a  dizisinin içinde “-9” sayısı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? “-9” sayısı ( ) n b n a  dizisinin 2.elemanıdır. Cevap: (21) min 9 4 H − olur. Yukarıdaki teoreme göre;k=21 ise, 21  9(mod12) olduğundan, 12 21 2 k − ifadesinde k yerine 21 yazılır.Sonuç=35 olur. Şimdi bu sayı kümelerini görelim. − 9,−8,7,10,− 9,−8,8,9,− 9,−7,6,10,− 9,−7,7,9,− 9,−6,5,10,− 9,−6,6,9,−9,−6,7,8, − 9,−5,4,10,− 9,−5,5,9,− 9,−5,6,8,− 9,−4,3,10,− 9,−4,4,9,− 9,−4,5,8,−9,−4,6,7, − 9,−3,2,10,− 9,−3,3,9,− 9,−3,4,8,− 9,−3,5,7,− 9,−2,1,10,− 9,−2,2,9,−9,−2,3,8, − 9,−2,4,7,− 9,−2,5,6,− 9,−1,0,10,− 9,−1,1,9,− 9,−1,2,8,− 9,−1,3,7,−9,−1,4,6, − 9,0,1,8,− 9,0,2,7,− 9,0,3,6,− 9,0,4,5,− 9,1,2,6,− 9,1,3,5,− 9,2,3,4Görüldüğü gibi toplam 35 tanedir. Yukarıdaki sayı kümelerine ek olarak,içinde “-9” sayısı bulunan kümelere 1 küme daha ekleriz.Bu küme: −10,−9,9,10 kümesidir. Yukarıdaki bu sayı kümelerinin hepsinin elemanları toplamı 0 olduğu için,bu sayı kümelerine toplama işlemine göre dengeli sayı kümeleri denir. TEOREM:Bu k elemanlı aritmetik dizinin içinde 3.elemanı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı şöyle bulunur: 22 1) k  1,3,7veya9(mod12) ise 12 2 75 2 k + k − olur. 2) k  4(mod12) ise 12 682 k + k −olur. 3) k  5veya11(mod12) ise 12 2 71 2 k + k − olur. 4) k  2veya6(mod12) ise 12 782 k + k −olur. 5) k  0veya8(mod12) ise 12 72 2 k + k − olur. 6) k  10(mod12) ise 12 74 2 k + k − olur. SORU: = n −11 n a n n b = 11− ise;21 elemanlı ( ) n b n a  dizisinin içinde “-8” sayısı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? “-8” sayısı ( ) n b n a  dizisinin 3.elemanıdır. Cevap: (21) min 8 4 H − olur. Yukarıdaki teoreme göre;k=21 ise, 21  9(mod12) olduğundan, 12 2 75 2 k + k − ifadesinde k yerine 21 yazılır.Sonuç=34 olur. Şimdi bu sayı kümelerini görelim. − 8,−7,5,10,− 8,−7,6,9,− 8,−7,7,8,− 8,−6,4,10,− 8,−6,5,9,− 8,−6,6,8,−8,−5,3,10, − 8,−5,4,9,− 8,−5,5,8,− 8,−5,6,7,− 8,−4,2,10,− 8,−4,3,9,− 8,−4,4,8,−8,−4,5,7, − 8,−3,1,10,− 8,−3,2,9,− 8,−3,3,8,− 8,−3,4,7,− 8,−3,5,6,− 8,−2,0,10,−8,−2,1,9, − 8,−2,2,8,− 8,−2,3,7,− 8,−2,4,6,− 8,−1,0,9,− 8,−1,1,8,− 8,−1,2,7,−8,−1,3,6, − 8,−1,4,5,− 8,0,1,7,− 8,0,2,6,− 8,0,3,5,− 8,1,2,5,− 8,1,3,4 Görüldüğü gibi toplam 34 tanedir. SORU: = n −11 n a n n b = 11− ise;21 elemanlı ( ) n b n a  dizisinin içinde “-8” sayısı bulunan elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? “-8” sayısı ( ) n b n a  dizisinin 3.elemanıdır. Cevap: (21) 8 4 H − olur. H (k ) d k r 4 2 − +2 −2 =b H (k ) d k r 4 2 min − +2 −2 =c 33:33 :3 =+r cr b Teoremlerine göre; (21) 8 4 H − = (21) min 8 4 H − +3 olur. (21) min 8 4 H − =34 olduğundan;sonuç=37 olur. Yukarıdaki sayı kümelerine ek olarak,içinde “-8” sayısı bulunan kümelere 3 küme daha ekleriz.Bu kümeler: −10,−8,8,10,− 9,−8,7,10,− 9,−8,8,9 kümeleridir. TEOREM:Elemanları toplamı m’den küçük olan doğal sayılardan oluşan n elemanlı kümelerin sayısı=en(m) en(m)=  ) ( )  ) (k ) m n n k n k m n n n k n  − −   = + − +  1 2 2 : 0, 1 2 2 : 1,   ( ) ( ) (m) n en m en m       + − = 0, 1  r( n) n k h k mod :1 −    ) ( )  )   − − −        − + − + −  =  n r n k h k k n k nk k n r n h n 1 :1 :1 1 :1 1 1, 1,   olur. 23       +       n k m k n :1 1,  =        −  − + − −      1 :1 mod :0 1 1, n k m nk k n m nm k n  m  r(mod n) ise, r =modnmolur. Yukarıdaki en(m) kavramının (m) n     1,  kavramıyla ilişkisinden ve (m) n     1, kavramının (m) n 1 1, −       kavramıyla ilişkisinden aşağıdaki algoritmaları ve teoremleri elde ettik. ALGORİTMA: 0,h aralığındaki doğal sayılardan oluşan bir kümeden elemanları toplamı m’ den küçük olan ve 5 elemanlı e5(m) tane küme elde edilir. m−7 hm  a(mod60) a=1 ise B= 4 133m − 4489 a=2 ise B= 4 142m − 4860 a=3 ise B= 4 133m − 4555 a=4 ise B= 4 142m − 4844 a=5 ise B= 4 133m − 4521 a=6 ise B= 4 150m − 5356 a=7 ise B= 4 150m − 5626 a=8 ise B= 4 150m − 5356 a=9 ise B= 4 150m − 5626 a=10 ise B= 4 150m − 5356 a=11 ise B= 4 8m − 88 a=12 ise B= 4 17m −136 a=13 ise B= 4 8m − 40 a=14 ise B= 4 17m − 202 a=15 ise B= 4 8m − 88 a=16 ise B= 4 25m − 232 a=17 ise B= 4 25m − 293 a=18 ise B= 4 25m − 282 a=19 ise B= 4 25m − 343 a=20 ise B= 4 25m − 264 a=21 ise B= 4 33m − 429 a=22 ise B= 4 42m − 588 a=23 ise B= 4 33m − 495 a=24 ise B= 4 42m − 604 a=25 ise B= 4 33m − 429 a=26 ise B= 4 50m − 796 a=27 ise B= 4 50m − 886 a=28 ise B= 4 50m − 764 a=29 ise B= 4 50m − 886 a=30 ise B= 4 50m − 796 a=31 ise B= 4 58m −1102 a=32 ise B= 4 67m −1272 a=33 ise B= 4 58m−1086 a=34 ise B= 4 67m −1306 a=35 ise B= 4 58m −1134 a=36 ise B= 4 75m−1528 a=37 ise B= 4 75m −1647 a=38 ise B= 4 75m −1578 a=39 ise B= 4 75m −1729 a=40 ise B= 4 75m −1528 a=41 ise B= 4 83m −1975 a=42 ise B= 4 92m − 2224 a=43 ise B= 4 83m − 2009 a=44 ise B= 4 92m − 2240 a=45 ise B= 4 83m−1975 a=46 ise B= 4 100m − 2560 a=47 ise B= 4 100m − 2772 a=48 ise B= 4 100m− 2560 a=49 ise B= 4 100m − 2740 a=50 ise B= 4 100m − 2592 a=51 ise B= 4 108m− 3148 24 a=52 ise B= 4 117m − 3376 a=53 ise B= 4 108m − 3132 a=54 ise B= 4 117m− 3442 a=55 ise B= 4 108m − 3148 a=56 ise B= 4 125m − 3824 a=57 ise B= 4 125m− 4033 a=58 ise B= 4 125m − 3842 a=59 ise B= 4 125m − 4115 a=0 ise B= 4 125m− 3824 m  0(mod5) ise  ( ) − = − 60 :1 2250 964 m a k A k m  1(mod5) ise ( )− = −60 :1 2250 1114m a k A k m  2(mod5) ise  ( ) − = − 60 :1 2250 1144 m a k A k m  3(mod5) ise ( )− = −60 :1 2250 1039m a k A k m  4(mod5) ise  ( ) − = − 60 :1 2250 1069 m a k A k m −11  r(mod5) 5+r=E  − − = − 5 6 :1 8 m r k F C M w=5k+E Mw w ww=− + −8 2002 106 3 18 4 (mod 4) 5 6 p m r  − − N p m r F + − − − = .334 4 5 6 p=0 ise N=0 olur. ( )−= −−1 :0 15p k Nf mk(p=1,2 veya 3 olur.) m −1− 5k  u(mod 4) u=0 için f (m −1− 5k) = 64 u=1 için f (m −1− 5k) = 225 u=2 için f (m −1− 5k) = 24 u=3 için f (m−1− 5k) =215 m − 6 − r =n dersek; ( ) 62332. 2150 350 150 4 3 2 2 4 250 500 . 30 3 10 4 15 5 6 625. nnnr r n n n r n n n n ++      + − + + + + + + + − ( ) r r r r n Wn n r r r  =      + + − + + + + − + + 10 25 . 2 14 3 2 4 2 2 50 140 30 20 . 2 3 m=103 için;n=19,r=2 olur. A=1211 ve B=1635 olur.W=398159649 ve F=1649 olur. C W F − = 8 8 49769750 8 1649 8 398159649 − = C = e5(m)= 72 C − (A + B) Sonuç= e5(103)= 691207 72 49769750 (1211 1635) = − + olur. SORU: Elemanları toplamı 103’den küçük olan doğal sayılardan oluşan 5 elemanlı kümelerin sayısı kaçtır? Cevap: e5(103) olur.Yukarıdaki algoritmada m yerine 103 yazarsak sonucu 691207 olarak buluruz. ÖRNEK:e5(16) ifadesini hesaplayalım. 16  16(mod60) a=16 olduğundan; a=16 ise B= 4 25.16 − 232 =42 olur. 25 16  1(mod5) ise  ( ) − = − 60 16 16 :1 2250 1114 k A k =0 olur. 16 −11  0(mod5) 5+0=E=5  − − = − 5 16 6 0 k:1 8 F C M w=5k+5 M w w w w = − + − 8 200 2 106 3 18 4 2(mod 4) 5 16 6 0  − − p=2 F +N− = .334 4 2 2  ( ) − = − − 2 1 :0 1 5 k N f m k (p=1,2 veya 3 olur.) 16 −1− 5.0  3(mod 4) u=2 için f (m −1− 5k) = 24 16 −1− 5.1  2(mod 4) u=3 için f (m −1− 5k) = 21 N=24+21=45 olur.F=45 olur. C= 8 11325 - 8 45 =1410 olur.Sonuç=e5(16)= 72 1410 − (0 + 42) =19 olur. Şimdi elemanları toplamı 16’dan küçük ve her elemanı doğal sayı olan 5 elemanlı sayı kümelerini görelim. 0,1,2,3,9,0,1,2,4,8,0,1,2,5,7,0,1,3,4,7,0,1,3,5,6,0,2,3,4,6,1,2,3,4,5,→3+2+1+1=7 0,1,2,3,8,0,1,2,4,7,0,1,2,5,6,0,1,3,4,6,0,2,3,4,5,→(14) 3 1 155 0, = + +=      0,1,2,3,7,0,1,2,4,6,0,1,3,4,5,→ (13) 2 1 3 5 0, = + =       0,1,2,3,6,0,1,2,4,5,→ (12) 2 5 0, =       0,1,2,3,5,→ ( ) (16) 1 5 1, 11 5 0, =  =              0,1,2,3,4 → ( ) (15) 1 5 1, 10 5 0, =  =              1 → (10) 5 0,        = (15) 5 1,        1 2 2 1 3 1 1 3 2 1 1 → (15) 5 0,        = (20) 5 1,        Yukarıda görüldüğü gibi elemanları toplamı 16’dan küçük ve her elemanı doğal sayı olan 5 elemanlı sayı kümelerinin sayısı 19’dur. ALGORİTMA: 0,h aralığındaki doğal sayılardan oluşan bir kümeden elemanları toplamı m+1’den küçük 4 elemanlı e4(m+1) tane küme elde edilir. m− 3  h  26 m  0(mod 4) ise  ( ) − = + + − 4 4 :1 24 1 2 144 3 128 m k A k k k .9 4− 4 = m B C=8a 0(mod3)4 4m−ise a= 4 m − 4 2(mod3) 4 4  m − ise a= 4 m − 4 1(mod3) 4 4  m − ise a= 4 mm  1(mod 4) ise  ( ) − = + + + 4 5 :1 120 16 2 240 3 128 m k A k k k B = 0 C=8a 0(mod3)4 5 m− ise a= 4 m − 5 1(mod3) 4 5  m − ise a= 4 m − 9 2(mod3) 4 5  m − ise a= 4 m − 9 m  2(mod 4) ise  ( ) − = − − + 4 2 :1 24 7 2 48 3 128 m k A k k k .9 4− 2 = m B C=8a 0(mod3)4 2 m−ise a= 4 m − 2 1(mod3) 4 2  m − ise a= 4 m − 6 2(mod3) 4 2  m − ise a= 4 m− 6 m  3(mod 4) ise  ( ) − = + − 4 3 :1 24 2 48 3 128 m k A k k k B = 0 C=8a 0(mod3) 4 3  m − ise a= 4m−31(mod3) 4 3  m − ise a= 4 m − 3 2(mod3) 4 3  m − ise a= 4 m +1 e4(m+1)= 72 A+ B−CSORU:Elemanları toplamı 103’den küçük olan doğal sayılardan oluşan 4 elemanlı kümelerin sayısı kaçtır? Cevap: e4(103) olur.Yukarıdaki algoritmada m yerine 102 yazarsak sonucu 183989 olarak buluruz. Yukarıdaki algoritmada 102  2(mod 4) olduğu için;A=13247175,B=225 ve C=192 olur.Sonuç=e4(103)= 183989 72 13247175 225 192 = + − olur. ÖRNEK:e4(11) ifadesini hesaplayalım. m=10 olur. 10  2(mod 4) olduğundan; ( )854 4 2 :1 24 7 2 48 3  128 = − = − − + m k A k k k .9 18 4 10 2 = − B = C=8a 2(mod3) 4 10 2  − olduğundan; a= 1 4 10 6 = − C=8 olur. Sonuç=e4(11)= 12 72 854 18 8 = + − olur. Şimdi elemanları toplamı 11’den küçük ve her elemanı doğal sayı olan 4 elemanlı sayı kümelerini görelim. 0,1,2,7,0,1,3,6,0,1,4,5,0,2,3,5,1,2,3,4,→ ( ) (14) 3 1154 1, 10 4 0, =++==              0,1,2,6,0,1,3,5,0,2,3,4,→ ( ) (13) 2 1 3 4 1, 9 4 0, = + =  =              0,1,2,5,0,1,3,4,→ ( ) (12) 2 4 1, 8 4 0, =  =              0,1,2,4,→ ( ) (11) 1 4 1, 7 4 0, =  =              27 0,1,2,3 → ( ) (10) 1 4 1, 6 4 0, =  =              1 → ( ) (10) 4 1, 6 4 0,            =    1 2 2 1 3 1 1 → ( ) (14) 5 4 1, 10 4 0, =  =              Yukarıda görüldüğü gibi elemanları toplamı 11’den küçük ve her elemanı doğal sayı olan 4 elemanlı sayı kümelerinin sayısı 12’dir. TEOREM: 0,h aralığındaki doğal sayılardan oluşan bir kümeden elemanları toplamı m+1’den küçük 3 elemanlı e3(m+1) tane küme elde edilir. m −1  h   m  a(mod3) m=tek sayı ise; e3(m+1)= 72 2 3 6 8 9 3 2 m + m − m − a + m=çift sayı ise; e3(m+1)= 72 2 3 6 8 3 2 m + m − m − a SORU:Elemanları toplamı 103’den küçük olan doğal sayılardan oluşan 3 elemanlı kümelerin sayısı kaçtır? Cevap: e3(103) olur.Yukarıdaki algoritmada m yerine 102 yazarsak sonucu 29903 olarak buluruz. ÖRNEK:e3(7) ifadesi hesaplayalım. m=6 olur. 6  0(mod3) Sonuç=e3(7)= 7 72 2.6 3.6 6.6 8.0 3 2 = + − − olur. Şimdi elemanları toplamı 7’den küçük ve her elemanı doğal sayı olan 3 elemanlı sayı kümelerini görelim. 0,1,5,0,2,4,1,2,3,→ ( ) (9) 2 1 3 3 1, 6 3 0, = + =  =              0,1,4,0,2,3,→ ( ) (8) 2 3 1, 5 3 0, =  =              0,1,3,→ ( ) (7) 1 3 1, 4 3 0, =  =              0,1,2 → ( ) (6) 1 3 1, 3 3 0, =  =              1 → ( ) (6) 4 1, 3 3 0,            =    1 2 2 1 → ( ) (9) 3 4 1, 6 3 0, =  =              Yukarıda görüldüğü gibi elemanları toplamı 7’den küçük ve her elemanı doğal sayı olan 3 elemanlı sayı kümelerinin sayısı 7’dir. 28 TEOREM: 0,h aralığındaki doğal sayılardan oluşan bir kümeden elemanları toplamı m+1’den küçük 2 elemanlı e2(m+1) tane küme elde edilir. m  h  m  a(mod 2) ise 4 2 2 m + m + a =e2(m+1) SORU: Elemanları toplamı 103’den küçük olan doğal sayılardan oluşan 2 elemanlı kümelerin sayısı kaçtır? Cevap: e2(103) olur.Yukarıdaki algoritmada m yerine 102 yazarsak sonucu 2652 olarak buluruz. ÖRNEK:e2(7) ifadesi hesaplayalım. m=6 olur. 6  0(mod 2) olduğundan; Sonuç=e2(7)= 3 3 2 2 11124 6 2.6 0 2 = + + +++=+ + olur. Şimdi elemanları toplamı 7’den küçük ve her elemanı doğal sayı olan 2 elemanlı sayı kümelerini görelim. 0,6,1,5,2,4,0,5,1,4,2,3,0,4,1,3, 0,3,1,2,0,2,0,1 Yukarıda görüldüğü gibi elemanları toplamı 7’den küçük ve her elemanı doğal sayı olan 2 elemanlı sayı kümelerinin sayısı 12’dir. TEOREM: 0,h aralığındaki doğal sayılardan oluşan bir kümeden elemanları toplamı m+1’den küçük 1 elemanlı e1(m+1) tane küme elde edilir. m  h  e1(m+1)=m+1 olur. SORU: Elemanları toplamı 103’den küçük olan doğal sayılardan oluşan 1 elemanlı kümelerin sayısı kaçtır? Cevap: e1(103) olur.Yukarıdaki algoritmada m yerine 102 yazarsak sonucu 103 olarak buluruz. SAYI PARÇALARININ SAYISININ HESAPLANMASININ YÖNTEMİ: TANIM:Sayı parçaları, elemanları toplamı belli bir sayı olan,elemanlarının aynı olabileceği sayı kümeleridir.Sayı parçalarına sayı açılımları da denilebilir. Sayı parçalarına örnek olarak;5’in parçaları:5,(4,1),(3,2),(3,1,1),(2,2,1),(2,1,1,1),(1,1,1,1,1) dır.Buna göre;P(5)=5’in parçalarının sayısı=7 olur. TEOREM:  ) ( ) ( ) ( )   (m) m P m d m d m k m k d 1, :1 1,  = = =  TANIM: (m) n b x d     , =m’in b, x aralığındaki tam sayılardan oluşan n elemanlı parçalarının sayısı TEOREM: m  r     ( )  ) (m) n m d n r d  = 1, 1,  ) ( ) 1 1 1, =  d m TEOREM:  +    1 :1 :1 a k m k a k k + a  Z a  h   ise;m’in elemanları farklı sayı parçalarının sayısı=  )  ( )  h k m k :1 1,  olur. TEOREM:  ) ( ) ( ) (m) n a m d n m d n a d          − −   = 1, 1, 1 , TEOREM:  ) ( )  )        − +  =  1 :1 1, 1, n k m k n m n d  SORU:22’nin 3 elemanlı sayı parçalarının sayısı kaçtır?  ) ( )  )        − +  =  1 :1 1, 1, n k m k n m n d  teoremine göre; Sonuç:  ) ( )  )    −+=  31:1223 1, 22 3 1, kd  k 29 NOT:Eğer sayı parçalarının b, x aralığı verilmemişse;aralık olarak 1,) aralığı alınır.  )        − +  3 1 :1 22 3 1, k  k ifadesini hesaplamak için aşağıdaki teoremden yararlanılır. k  h(mod6) ise,  ) ( ) ( ) 12 6 6 . 2 3 1, k k h h k − + − =   (h  0) h=0 ise  ) ( ) 1261223 1, −+=k k k olur.  )        − +  3 1 :1 22 3 1, k  k =  ) (25) 3 1,  25  1(mod6) ise, k yerine 25,h yerine 1 yazılırsa sonuç 40 olarak bulunur.Cevap:40 Şimdi 22’nin 3 elemanlı sayı parçalarını görelim: 1,1,20,1,2,19,1,3,18,1,4,17,1,5,16,1,6,15,1,7,14,1,8,13,1,9,12,1,10,11,2,2,18, 2,3,17,2,4,16,2,5,15,2,6,14,2,7,13,2,8,12,2,9,11,2,10,10,3,3,16,3,4,15, 3,5,14,3,6,13,3,7,12,3,8,11,3,9,10,4,4,14,4,5,13,4,6,12,4,7,11,4,8,10,4,9,9, 5,5,12,5,6,11,5,7,10,5,8,9,6,6,10,6,7,9,6,8,8,7,7,8 Görüldüğü gibi; 22’nin 3 elemanlı sayı parçalarının sayısı 40’dır. TEOREM: m’in w+1’den küçük pozitif tam sayılardan oluşan parçalarının sayısı=   ( )  )  ( )  = w k m k m d w d :1 1, 1, Bu teorem  ) ( )  ) (m) a d m d a  = max 1, 1, ve   ( )  )  ( ) = w k d mk m w d :1 1, max 1, teoremlerinden elde edildi. m’in w+1’den küçük pozitif tam sayılardan oluşan parçalarının sayısı =m’in 1,w aralığındaki tam sayılardan oluşan tüm sayı parçalarının sayısı=m’in w+1’den az elemanlı tüm sayı parçalarının sayısı Yukarıdaki teoremi örnekle açıklayalım. ÖRNEK:22’nin 1,3 aralığındaki tam sayılardan oluşan tüm sayı parçalarının sayısı=22’nin 4’den az elemanlı tüm sayı parçalarının sayısı Önce 22’nin 1,3 aralığındaki tam sayılardan oluşan tüm sayı parçalarını görelim. 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2, 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2, 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2, 1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2, 1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2, 2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,3, 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3, 1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,3, 1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,3, 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,2,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,2,2,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,2,2,2,3, 1,1,1,1,1,1,1,1,3,2,2,2,2,3,1,1,1,1,1,1,3,2,2,2,2,2,3,1,1,1,1,3,2,2,2,2,2,2,3,1,1,3,2,2,2,2,2,2,2,3, 3,2,2,2,2,2,2,2,2,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,3,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,3,2,3, 1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,3,2,2,3,1,1,1,1,1,1,1,3,3,2,2,2,3,1,1,1,1,1,3,3,2,2,2,2,3,1,1,1,3,3,2,2,2,2,2,3, 1,3,3,2,2,2,2,2,2,3, 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,3,3,3, 1,1,1,1,1,1,1,1,3,3,3,2,3, 1,1,1,1,1,1,3,3,3,2,2,3, 1,1,1,1,3,3,3,2,2,2,3,1,1,3,3,3,2,2,2,2,3,3,3,3,2,2,2,2,2,3,1,1,1,1,1,1,1,3,3,3,3,3, 30 1,1,1,1,1,3,3,3,3,2,3, 1,1,1,3,3,3,3,2,2,3, 1,3,3,3,3,2,2,2,3, 1,1,1,1,3,3,3,3,3,3,1,1,3,3,3,3,3,2,3, 3,3,3,3,3,2,2,3,1,3,3,3,3,3,3,3 22’nin 1,3 aralığındaki tam sayılardan oluşan tüm sayı parçalarının sayısı 52’dir. Şimdi 22’nin 4’den az elemanlı tüm sayı parçalarını görelim. 22,1,21,2,20,3,19,4,18,5,17,6,16,7,15,8,14,9,13,10,12,11,11,1,1,20, 1,2,19,1,3,18,1,4,17,1,5,16,1,6,15,1,7,14,1,8,13,1,9,12,1,10,11,2,2,18,2,3,17, 2,4,16,2,5,15,2,6,14,2,7,13,2,8,12,2,9,11,2,10,10,3,3,16,3,4,15,3,5,14, 3,6,13,3,7,12,3,8,11,3,9,10,4,4,14,4,5,13,4,6,12,4,7,11,4,8,10,4,9,9,5,5,12,5,6,11,5,7,10,5,8,9,6,6,10,6,7,9,6,8,8,7,7,8 22’nin 4’den az elemanlı tüm sayı parçalarının sayısı da 52’dir.Bu örnekle teoremin doğruluğunu görmüş olduk. SAYI PARÇALARINDA MAKSİMUM VE MİNİMUM HESAPLAMALARI TANIM: (m) n b x d a k d     max , mod =m’in b, x aralığındaki mod d ye göre k ya denk olan tam sayılardan oluşan ve içinde “a” sayısı en büyük sayı olarak bulunan n elemanlı parçalarının sayısı TEOREM: m’in w+1’den küçük pozitif tam sayılardan oluşan n elemanlı parçalarının sayısı= ( )  ( )  =          w k m n d k m n w d :1 1, max 1, ÖRNEK: ( )  ( )  =          3 :1 22 12 max 1, 22 12 1,3 k d k d Önce 22’nin 1,3 aralığındaki tam sayılardan oluşan 12 elemanlı tüm sayı parçalarını görelim. 1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,1,1,1,1,3,2,2,2,2,2,2,3,1,1,1,1,1,3,3,2,2,2,2,3, 1,1,1,1,1,1,3,3,3,2,2,3,1,1,1,1,1,1,1,3,3,3,3,3 Şimdi 22’nin içinde en büyük sayı olarak “1”, “2” veya “3” sayısının bulunduğu 12 elemanlı tüm sayı parçalarını görelim. 1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,1,1,1,1,3,2,2,2,2,2,2,3,1,1,1,1,1,3,3,2,2,2,2,3, 1,1,1,1,1,1,3,3,3,2,2,3,1,1,1,1,1,1,1,3,3,3,3,3 Her iki durumda da eşit sayıda küme olduğundan teorem doğrudur. MÜKEMMEL BİR İLİŞKİYİ ANLATAN TEOREM:  ) ( )  )(m)ad md a = max 1,1, SORU:22’nin,içinde “3” sayısı en büyük sayı olarak bulunan tüm sayı parçalarının sayısı kaçtır? Sonuç:  ) ( )  ) (22) 3 1, 22 max3 1,  =  d d olur.  ) (22) 3 1, d ifadesini de yukarıda 40 olarak bulduğumuzdan dolayı cevap:40 olur. Şimdi 22’nin,içinde “3” sayısı en büyük sayı olarak bulunan tüm sayı parçalarını görelim. 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,3, 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3, 1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,3,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,2,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,2,2,3, 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,2,2,2,3,1,1,1,1,1,1,1,1,3,2,2,2,2,3,1,1,1,1,1,1,3,2,2,2,2,2,3, 1,1,1,1,3,2,2,2,2,2,2,3,1,1,3,2,2,2,2,2,2,2,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,3,3, 31 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,3,2,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,3,2,2,3,1,1,1,1,1,1,1,3,3,2,2,2,3,1,1,1,1,1,3,3,2,2,2,2,3, 1,1,1,3,3,2,2,2,2,2,3,1,3,3,2,2,2,2,2,2,3, 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,3,3,3, 1,1,1,1,1,1,1,1,3,3,3,2,3, 1,1,1,1,1,1,3,3,3,2,2,3,1,1,1,1,3,3,3,2,2,2,3,1,1,3,3,3,2,2,2,2,3,3,3,3,2,2,2,2,2,3, 1,1,1,1,1,1,1,3,3,3,3,3,1,1,1,1,1,3,3,3,3,2,3, 1,1,1,3,3,3,3,2,2,3, 1,3,3,3,3,2,2,2,3, 1,1,1,1,3,3,3,3,3,3,1,1,3,3,3,3,3,2,3, 3,3,3,3,3,2,2,3,1,3,3,3,3,3,3,3 Görüldüğü gibi 22’nin,içinde “3” sayısı en büyük sayı olarak bulunan tüm sayı parçalarının sayısı 40’dır. SAYI PARÇALARIYLA İLGİLİ DİĞER TEOREMLER TEOREM: TEOREM:  ) ( )   ( )   (m) n a m d n a m d n d a max 1, 1, 1, −1 = −  ÖRNEK:  ) ( )   ( )   (22) 12 1,2 22 12 1,3 22 12 max3 1, d = d − d  =6-1=5 Bu örnekte aşağıdaki sayı kümelerini kullandık. 1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,1,1,1,1,3,2,2,2,2,2,2,3,1,1,1,1,1,3,3,2,2,2,2,3, 1,1,1,1,1,1,3,3,3,2,2,3,1,1,1,1,1,1,1,3,3,3,3,3 TEOREM:  ) ( )  ) ( )   ( )   (m) w m d w m d w wd m d max 1, 1, 1, 1, −1 = −  =  ÖRNEK:  ) ( )  ) ( )   ( )   (22) 1,2 22 1,3 22 3 1, 22 max3 1, d d = d − d  =   ) ( )  ) (22) 3 1, 22 max3 1,  =  d d =40 ve   ( )   (22) 1,2 22 1,3 d − d =52-12=40 olduğundan teorem doğrudur. TEOREM:  ) ( ) ( ) (m) n a m d n m d n a d          − −   = 1, 1, 1 , TEOREM:  ) ( )   ( )  ) (m) k a n d k m n a m d n d a   +  −  =  : ( 1) min 1, , min 1, AMAÇLI SAYI GRUPLARININ DİĞER BİR ALT GRUBU:AMAÇLI SAYI SIRALILARI  işlemine sokulduğunda belli bir sayıyı sonuç olarak veren,bir  işlemsel ardışık dizinin elemanlarından oluşan sıralılara  işlemine ve  işlemsel ardışık dizisine göre amaçlı sayı sıralıları denir. Elemanları toplamı belli bir sayı olan doğal sayılardan oluşan sıralılara toplama işlemine göre amaçlı sayı sıralıları denir. TANIM: (m) n b x Z     , =b, x aralığındaki tam sayılardan oluşan kümenin elemanları toplamı m olan n elemanlı sıralılarının sayısı (m) n b x     , KAVRAMIYLA İLGİLİ TEOREMLER TEOREM: m  h   ise, ( ) 1 2 1, − =     m m h Z ( )       − − =     1 1 1, a m m a h Z SORU:Her elemanı pozitif tam sayı olan elemanları toplamı 4 olan sayı sıralılarının sayısı kaçtır?  ) ( )  ) ( )  )  ( )      −  − + −  =  :1 min 1, 1, 1, k mkf k m kf k d k d m d f 32 ( ) 4 1 4 2 1, − =     Z =8 olur.Bu sayı sıralıları şunlardır: (4),(3,1),(2,2),(1,3),(1,1,2),(1,2,1), (2,1,1),(1,1,1,1) SORU:Her elemanı pozitif tam sayı olan elemanları toplamı 6 olan 4 elemanlı sayı sıralılarının sayısı kaçtır? ( ) 10 3 5 6 4 1, =      =     Z Bu sayı sıralıları şunlardır: (1,1,1,3),(1,1,3,1),(1,3,1,1),(3,1,1,1),(1,1,2,2),(1,2,1,2),(2,1,1,2), (1,2,2,1),(2,1,2,1), (2,2,1,1) TEOREM: ( )  ( ) ( ) − −         = + −            − −       =     1 :( 1) 1 1 1 :1 1 1 . 0, a m a n mn P m P a k k n k a n a h Z SORU:Her elemanı doğal sayı olan elemanları toplamı 5 olan 4 elemanlı sayı sıralılarının sayısı kaçtır? 1.YOL: ( )              − −       =     4 :1 1 5 1 . 4 5 4 0, k k k Z =             0 4 . 1 4 +             1 4 . 2 4 +             2 4 . 3 4 +             3 4 . 4 4 =4+24+24+4=56 dır. 2.YOL: ( )  ( ) ( )      = −     3 :3 5 1 6 1 5 4 0, m m P m Z P ( ) 24 6 2 11 3 6 4 3 ::3 1 n n n n m n m P + + +   =      olduğundan; ( )  ( ) ( )      = −     3 :3 5 1 6 1 5 4 0, m m P m Z P = 24 6.6 2 11.6 3 6.6 4 6 + + + - 24 6.5211.53 6.5 4 5 + + +=126-70=56 olur. TEOREM: ( )                      =  n km k k k k k k d n k d m P :1 4 :1 3 ... 3 :1 2 2 :1 1 1 ... TEOREM: ( )  ( )       = −       +     d m d Pm n n k k d h Z : 1 1 :0 1 0, Yani;her elemanı doğal sayı olan elemanları toplamı n’den küçük d+1 elemanlı sayı sıralılarının sayısı=  ( )      d m d Pm n : 1 olur. SORU:Her elemanı doğal sayı olan elemanları toplamı 10’dan küçük 5 elemanlı sayı sıralılarının sayısı kaçtır? ( )  ( )       =           4 :4 10 1 9 :0 5 0, m Pm k Z k ( ) 120 242 50 3 35 4 10 5 4 ::4 1 n n n n nm n m P + + + +  =      olduğundan;  ( )      4 :4 10 1 m Pm = 120 24.10 2 50.10 3 35.10 4 10.10 5 10 + + + + =2002 olur. Sonuç=2002 olur. 33 TEOREM:  ( ) −       + −     1 :0 1 0, 1 p m m d r Z =  ( )      d m d p m P : 1 -  ( )      − d m d p r m P :: 1 .(d+1) olur.Yandaki ifade için;    − r p 2 1 olur. p  r   ise  ( )      − d m d p r m P :: 1 .(d+1) ifadesi 0’a eşit olur. SORU:6’dan küçük doğal sayılardan oluşan bir kümeden elemanları toplamı 10’dan küçük 5 elemanlı kaç tane sayı sıralıları elde edilir?    − 6 2 10 1 olduğundan;Cevap=  ( )           9 :0 5 m 0,5 Z m =  ( )      4 :4 10 1 m m P - ( )      4 ::4 41mmP.5 olur.  ( )      4 :4 10 1 m m P -  ( )      4 ::4 4 1 m m P .5=2002-56.5=1722 Sonuç=1722 olur. SORU:2’dan küçük doğal sayılardan oluşan bir kümeden elemanları toplamı 4’den küçük 5 elemanlı kaç tane sayı sıralıları elde edilir?    − 2 2 4 1 olduğundan;Cevap=  ( )           3 :0 5 m 0,1 Z m =  ( )      4 :4 4 1 m m P - ( )      4 ::4 21 mmP.5 olur.  ( )      4 :4 4 1 m m P -  ( )      4 ::4 2 1 m m P .5=56-6.5=26 olur. Sonuç=26 olur. Şimdi bu sayı sıralılarını görelim. (0,0,1,1,1),(0,1,0,1,1),(0,1,1,0,1),(0,1,1,1,0),(1,0,0,1,1),(1,0,1,0,1),(1,0,1,1,0),(1,1,0,0,1),(1,1,0,1,0), (1,1,1,0,0),(1,1,0,0,0),(1,0,1,0,0),(1,0,0,1,0),(1,0,0,0,1),(0,1,1,0,0),(0,1,0,1,0),(0,1,0,0,1),(0,0,1,1,0), (0,0,1,0,1),(0,0,0,1,1),(1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1),(0,0,0,0,0)Görüldüğü gibi sayı sıralılarının sayısı 26’dır. AMAÇLI SAYI SIRALILARININ SAYISI İLE FİBONACCİ DİZİSİNİN ARASINDAKİ İLİŞKİ FİBONACCİ DİZİSİ:Kendinden önceki iki sayının toplamına eşit olan sayıların oluşturduğu diziye fibonacci dizisi denir.1,1,2,3,5,8,13,21... şeklinde devam eder. Teorem:c+r=k’nın olduğu tüm       r c ifadelerinin toplamı fibonacci dizisinin (k+1).elemanına eşit olur.Bu teoremden yola çıkarak aşağıdaki teorem elde edilebilir. Teorem:m+a=k ise,elemanları toplamı m olan her elemanı pozitif tam sayı olan a elemanlı c tane sıralı vardır.c=Fibonacci dizisinin (k-1).elemanıdır. SORU:Fibonacci dizisinin 6.elemanı 8 olduğuna göre;m+a=7 ise,elemanları toplamı m olan her elemanı pozitif tam sayı olan a elemanlı kaç tane sıralı vardır? m+a=7 ise,elemanları toplamı m olan her elemanı pozitif tam sayı olan a elemanlı c tane sıralı vardır.c=Fibonacci dizisinin 6.elemanı=8 olur.Sonuç=8 olur. Şimdi bu sayı sıralılarını görelim. (6),(4,1),(3,2),(2,3),(1,4),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1) (m) n b x     , KAVRAMIYLA İLGİLİ MAKSİMUM,MİNİMUM VE MODÜLER HESAPLAMALAR TANIM: (m) n b x Z a k d     max , mod =b, x aralığındaki mod d ye göre k ya denk olan tam sayılardan oluşan kümenin içinde “a” sayısı en büyük sayı olarak bulunan elemanları toplamı m olan n elemanlı sıralılarının sayısı 34 TEOREM:  ) ( )  ) ( )    −+ =      −  − =  =            bmnadnn d Z b n m n a m n a Z n Z n m b Z a b . . , . 0, . 0, mod 0 0, mod TEOREM:   ( )  )  ( ) −  = − 1 :1 0, 1 max 0, a k m n Z k m n a Z TEOREM:  ) ( )  ) ( )  )  ( )  +  =  −  : 1 min 0, , min 0, k a m n Z k m n m Z a n Z a TEOREM:  ) ( )   ( )   (m) n a m Z n a m Z n a Z max 0, 0, 0, −1 = −  TEOREM:  ) (m) n Z a,=  ) ( )   (m) n a m Z n Z 0, 0, −1 −  Şimdi toplama işlemine göre amaçlı sayı kümeleri,sıralıları ve dengeli sayı kümeleriyle ilgili bir soru çözelim. SORU:103’den küçük doğal sayılardan oluşan bir A kümesi vardır.Bu A kümesinden elemanları toplamı 103’den küçük olan ve en fazla 5 elemanlı a tane en az iki elemanı aynı olan sıralılar elde ediliyor.Ayrıca bu kümeden elemanlarının aritmetik ortalaması 51 olan en fazla 5 elemanlı b tane küme elde ediliyor.Bunlara göre; a+b ifadesi kaça eşittir? m’den küçük doğal sayılardan oluşan bir A kümesi vardır.Bu A kümesinden elemanları toplamı m’den küçük olan n elemanlı a tane en az iki elemanı aynı olan sıralılar elde ediliyor.Bu A kümesinden elemanları toplamı m’den küçük olan n elemanlı d tane sıralılar elde ediliyor. Bu A kümesinden elemanları toplamı m’den küçük olan n elemanlı c tane küme elde ediliyor.a=d-n!.c olur. Her elemanı doğal sayı olan elemanları toplamı 103’den küçük olan n elemanlı kümelerin sayısı= (103) n e olur. Her elemanı doğal sayı olan elemanları toplamı 103’den küçük olan n elemanlı sıralıların sayısı= (m) m n  Z      102 :0 0, olur. Her elemanı doğal sayı olan elemanları toplamı 103’den küçük olan n elemanlı en az iki elemanı aynı olan sıralıların sayısı= ( ) (103). ! n e 102 :0 0, m n m n  Z −      olur. 103’den küçük doğal sayılardan oluşan kümenin elemanlarının aritmetik ortalaması 51 olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı= (103) Hn olur.Bunlara göre;  ( ) =        −      5 :1 (103). ! n e 102 :0 0, n m n a m n Z  = 5 :1 (103) Hn n b olur. e1(103)=103 e2(103)=2652 e3(103)=29903 e4(103)=183989 e5(103)=691207 (m) m  Z      102 :0 1 0, =103 (m) m  Z      102 :0 2 0, =5356 (m) m  Z      102 :0 3 0, =187460 (m)mZ      102 :0 40, =4967690 (m) m  Z      102 :0 5 0, =106308566 a=23923774 (103) 1 H =1 (103) 2 H =51 (103) 3 H =1301 (103) 4 H =29053 (103) 5 H =520569 b=550975 a+b=24474749 Cevap=24474749 olur. ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE DENGELİ SAYI KÜMELERİ 35 Bir geometrik dizinin,elemanlarının geometrik ortalaması o dizinin merkezi olan alt kümelerine çarpma işlemine ve o diziye göre dengeli sayı kümeleri denir.O geometrik dizinin merkezi 1 ise,o alt kümelere sadece çarpma işlemine göre dengeli sayı kümeleri denebilir. ÖRNEK:an=2n-501 bn=2501-n ise ( ) n b n a  dizisinin içinde “a501” yani “b501” sayısı bulunmayan ve elemanları çarpımı 1 olan en az 996 elemanlı alt kümelerinin sayısı=K ise; an=n-501 bn=501-n ise ( ) n b n a  dizisinin içinde “a501” yani “b501” sayısı bulunan ve elemanları toplamı 0 olan en çok 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı=K olur. an=2n-501 bn=2501-n ise ( ) n b n a  dizisinde a501=b501=1 olur. an=n-501 bn=501-n ise ( ) n b n a  dizisinde a501=b501=0 olur. TEOREM:Hn-1(m)-Un-1(m)=Un(m) U6(m)=H5(m)-H4(m)+H3(m)-H2(m) U5(m)=H4(m)-H3(m)+H2(m) U4(m)=H3(m)-H2(m) U3(m)=H2(m) U2(m)=0 U1(m)=1 ( ) ( ) ( ) 1 4 2 5 :1  m = H m + H m + n Un olur. an=2n-501 bn=2501-n ise ( ) n b n a  dizisinin içinde “a501” yani “b501” sayısı bulunmayan ve elemanları çarpımı 1 olan en az 996 elemanlı alt kümeleri çarpma işlemine göre dengeli sayı kümeleridir. Proje çalışmamız sırasında sayılar ve tümevarımlı polinomlarda katsayılarla ilgili bazı teoremler bulduk.Şimdi bu teoremleri gösterelim. TÜMEVARIMLI POLİNOMLARDA KATSAYILAR (m) n b x     , kavramıyla ilgili hesaplamalarımızla uğraşırken tümevarımlı polinomlarda katsayılarla ilgili bazı teoremler bulduk. ( )                      =  n km k k k k k k d n k d m P :1 4 :1 3 ... 3 :1 2 2 :1 1 1 ... TEOREM: (n) d m P ifadesinin açılımında, nm+d nin katsayısı = ( )! ! m d d + dir.Yani (n) d m P m + d = ( )! ! m d d + olur. SORU:                       n k k k k k k k k :1 4 4 :1 3 ... 3 :1 2 2 :1 1 1 ... ifadesinin açılımında, n5 nin katsayısı kaçtır? d=1,m=4 olduğundan; ( )! ! m d d + = 120 1 olur. ( ) 120 242503 35 4 10 5 4 ::4 1 n n n nnm n m P + + ++  =       ( )      4 ::4 1 m n m P ifadesinin açılımında görüldüğü gibi; n5 nin katsayısı= 120 1 olur.Sonuç=1201TEOREM:n m+d-1 nin katsayısı = (n) d m P m + d −1 = ( ) ( ) 1 1 . 1 2 1 !.2 ! + − − + − + + − m d n d m P m d m d d dir. ( ) 2 1 1 n = d P d 36 SORU:                       n k k k k k k k k :1 4 4 :1 3 ... 3 :1 2 2 :1 1 1 ... ifadesinin açılımında, n4 nin katsayısı kaçtır? Cevap= P (n) 1 4 4 = ( ) 4 1 . 1 3 3 48 1 + P n dir. P (n) 1 3 3 = ( ) 3 1 . 1 2 2 12 1 + P n P (n) 1 2 2 = ( )21. 11 1 4 1 + PnP (n) 1 1 1 = 2 1 olduğundan; P (n) 1 4 4 =12 1 olur. ( ) 120 242503 35 4 10 5 4 ::4 1 n n n nnm n m P + + ++  =       ( )      4 ::4 1 m n m P ifadesinin açılımında görüldüğü gibi; n4 nin katsayısı= 120 10 =12 1 Sonuç=121TEOREM:m>1 olmak şartıyla, (n) d Pm ifadesinin açılımında, n’in (m+2)den küçük tüm katları(0 hariç) vardır ve n’in tüm katsayıları pozitiftir. TEOREM: (n) d Pm ifadesinin açılımında, n’in tüm çift katlarının katsayılarının toplamı 0,5 dir. TEOREM:  n k mk :1 ifadesinin açılımında, n’in tüm çift katlarının katsayılarının toplamı 0,5 dir. TEOREM:  n k mk :1 ifadesinin açılımında katsayıların işaretleri: + − + − + − − − + + + + ... ... 1 1 3 m 5 en m dn m cn m bn m an şeklinde devam eder. TEOREM:  n k mk :1 ifadesinin açılımında, tüm n katlarının katsayıları toplamı 1’dir. TEOREM:  n k mk :1 ifadesinin açılımında, nm in katsayısı= 2 1 dir. SORU:  n k k :1 4 ifadesinin açılımında, n4 ün katsayısı kaçtır? Cevap= 2 1 olur. 30 3 10 4 15 5 6 :1 n 4 n n n n k k + + −  =  n k k :1 4 ifadesinin açılımında görüldüğü gibi; n4 ün katsayısı= 30 15 = 2 1 olur. TEOREM:  n k mk :1 ifadesinin açılımında, nm+1 in katsayısı= 1 1 m + dir. SORU:  n k k :1 4 ifadesinin açılımında, n5 in katsayısı kaçtır? Cevap= 5 1 olur. 30 3 10 4 15 5 6 :1 n 4 n n n n k k + + −  =  n k k :1 4 ifadesinin açılımında görüldüğü gibi; n5 in katsayısı= 30 6 = 5 1 olur. TEOREM: (n) d Pm ifadesinde tüm n katlarının katsayıları toplamı 1’dir. TEOREM: Pm (n) 1 1 =P(n) ifadesinde n’in katsayısı= 1 1 m + dir. 37 SORU:                       n k k k k k k k k :1 4 4 :1 3 ... 3 :1 2 2 :1 1 1 ... ifadesinin açılımında, n’ nin katsayısı kaçtır? Cevap= P (n) 1 4 1 = (4 1) 1 + = 5 1 dir. ( ) 120 242 50 3 35 4 10 5 4 ::4 1 n n n n nm n m P + + + +  =       ( )      4 ::4 1 m n m P ifadesinin açılımında görüldüğü gibi; n’ nin katsayısı= 120 24 = 5 1 olur. Sonuç= 51TEOREM: Pm (n) m 1 = 2.( 1)! 1 m − dir. SORU:                       n k k k k k k k k :1 4 4 :1 3 ... 3 :1 2 2 :1 1 1 ... ifadesinin açılımında, n4 nin katsayısı kaçtır? Cevap= P (n) 1 4 4 = 2.(4 1)! 1− = 12 1 dir. TEOREM: Pm (n) m +1 1 = ( 1)! 1 m + dir. SORU:                       n k k k k k k k k :1 4 4 :1 3 ... 3 :1 2 2 :1 1 1 ... ifadesinin açılımında, n5 nin katsayısı kaçtır? Cevap= P (n) 1 4 5 = (4 1)! 1 + = 120 1 dir. TEOREM: Pm (n) m +1 2 = ( 1).( 1)! 1 m + m − SORU:                       n k k k k k k k k :1 4 4 :1 3 ... 3 :1 2 2 :1 1 2 1 ... ifadesinin açılımında, n5 nin katsayısı kaçtır? Cevap= P (n) 2 4 5 = (4 1).(4 1)! 1 + − = 30 1 dir. Şimdi yukarıdaki teoremleri aşağıdaki açılımlardan kontrol edebiliriz.  ( )( ) =      − 10 :0 . 11 1 m n m m P  ( )        10 :0 :0 1 f f m n m P  ( )        10 :0 :0 1 f f m n m P = 39916800 6 6230301 7 696333 8 53130 9 2640 10 77 11 n + n + n + n + n + n + 39916800 1007441280 2 924118272 3 489896616 4 167310220 5 38759930n + n + n + n + n 38  ( )      10 :0 1 m n m P = 39916800 6 2637558 7 357423 8 32670 9 1925 10 66 11 n + n + n + n + n + n + 39916800 120543840 2 150917976 3 105258076 4 45995730 5 13339535n + n + n + n + n  ( ) =      10 :0 1000 26754600320515262649789425 1 m m P  ( )      10 :10 1 m n m P = 39916800 6 902055 7 157773 8 18150 9 1320 10 55 11 n + n + n + n + n + n + 39916800 3628800 2 10628640 3 12753576 4 8409500 5 3416930n + n + n + n + n ( ) 26463501800707480365766000 10 :10 1000 1   =      m m P  ( )      9 ::9 1 m n m P = 3628800 5 269325 6 63273 7 9450 8 870 9 45 10 n + n + n + n + n + n + 3628800 362880 2 1026576 3 1172700 4 723680n + n + n + n  ( )      8 ::8 1 m n m P = 362880 4 67284 5 22449 6 4536 7 546 8 36 9 n + n + n + n + n + n + 362880 40320 2 109584 3 118124n + n + n ( ) 40320 50402 13068 3 13132 4 6769 5 1960 6 322 7 28 8 7 ::7 1 n n n n n n n nm n m P + + + + + + +  =      ( ) 5040 720 2 1764 3 1624 4 735 5 175 6 21 7 6 ::6 1 n n n n n n n m n m P + + + + + +   =      ( ) 720 120 2 274 3 225 4 85 5 15 6 5 ::5 1 n n n n n n m n m P + + + + +   =      ( ) 120 24 2 50 3 35 4 10 5 4 ::4 1 n n n n n m n m P + + + +   =      ( ) 24 6211 3 6 4 3 ::3 1 n n nnm n m P + + +  =      ( ) 6 2 2 3 3 2 ::2 1 n n n m n m P + +   =      ( ) 2 2 1 ::1 1 n n m n m P +   =      ( ) n m n m  P  =      0 ::0 1 24 2 10 4 33 6 44 8 33 10 22 11 12 12 2 :1 n 11 n n n n n n n k k + + − + − +  = 66 5 3 33 5 66 7 66 9 55 10 33 11 6 :1 n 10 n n n n n n n k k + + − + − +  = 91409924241424243424241924242500 1000 :1 10  = k k 39 20 2 3 4 10 6 14 8 15 9 10 10 2 :1 n 9 n n n n n n k k + + − + −  = 90 3 3 20 5 42 7 60 8 45 9 10 :1 n 8 n n n n n n k k + + − + −  = 24 2 2 4 7 6 14 7 12 8 3 :1 n 7 n n n n n k k + + − +  = 42 3 7 5 21 6 21 7 6 :1 n 6 n n n n nk k + + − + = 12 4 2 5 5 6 6 2 :1 n 5 n n n n k k + + −  = 30 3 10 4 15 5 6 :1 n 4 n n n n k k + + −  = 4322 4 :1 n 3 n nnk k ++ = 6 2 3 3 2 :1 n 2 n n n k k + +  = 2 2 :1 n n n k k +  = n n k n k  k =  = :1 1 :1 0 1222534 4 :1 2 2 :1 1 2 1 n n n nnk k k k + ++ =        ( ) ( ) ( ) ( )  ( ) − −  =  + − +− −  =  − + 1 : 1 1 1 : 1 1 1 : 1 1 : 1 1 : 1 d m d n mP d m d n m P d m d n m P d m d n m P d m d n m P   =        n k k n m n k m k :1 2 :1 : mn m m x n k x k x m n mn n k mk + +         − −       − + − − +  = 1 :2 1 :1 1 . 1 1 1 :1 ( ) ( )  ( )   +−+  = n k n kk k m n m P :1 . 12 3 . 1 :3 1         10 m:0 :1 n k mk = 27720 666066 7 8580 9 40040 10 42042 11 16380 12 2310n + n + n + n + n + n+ 27720 47112 2 42042 3 20020 5 48048n + n + n + n ( )( ) ()++ =       + − 2 : 2 1:1 . 1 : 1 d md f mPf n f n d m d n m P  =  ( )        + −  4 :4 1 :1 1 :1 . :1 m f m P f n f n k k n k k ( )  ( ) + +  =       1 : 1 1 :1 : 1 d m d f m P f n d m d n m P ( ) 1. 1 1 =d md mP ( ) 0 . 0 1  = d m d m P TEOREM: ( ) d b n − f +1 .a = olsun. e n f k b k b m  = − :1 . olsun.   un k f b  mk − mf + a =: olsun. u  modm d(modm) e( a) a u  mod mod olur. SORU:  −  10 :1 4 4 1 k k ifadesinin 4’e bölümünden ve 3’e bölümünden kalan kaçtır? m=4,a=3,b=4,n=10 ve f=1 dir. ( ) 810 4 10 −1+1 .3 = d = olur. e k  k = 10−1 :1 4 . 4 4 olur.   u k  k − + = 10 :1 4 4 4.1 3 olur. (mod 4) 4 u  mod d (mod3) 3 u  mod e olur. 30 9 3 10.9 4 15.9 5 9 6.9 :1 4 + + − = k k 40  9 :1 4 k k =15333 e=3925248 e’nin 3’e bölümünden kalan 0 olur.Yani; e 3 mod =0   0(mod3) 10 :1 4  4 −1  k k olur.d=810 810 4 mod =2 olur.Yani;   2(mod4)10 :1 4  4 −1  k k olur. Şimdi  −  10 :1 4 4 1 k k ifadesini hesaplayalım.  −  10 :1 4 4 1 k k =5746938 Bu 5746938 sayısının 3’e bölümünde kalan 0,4’e bölümünde kalan 2 çıkmaktadır.Bu da teoremi doğrulamaktadır. TEOREM: b  d(mod 2) ise; ( )  ( ) −             − + −  − + − + +             − − − + − − 2 :1 2 2 1 2 2 . 2 :1 2 1 1 2 1 . b d k k d e b n k d b d k k d e b n k d ifadesi e=b ise,b!.(n+0,5b-0,5) e eşit olur.e=b-1 ise,(b-1)! e eşit olur. e  b − 2 ise,0’a eşit olur. SORU: ( )  ( )             −   − + −            − + − 5 :1 2 2 9 . 10 100 2 2 5 :1 2 1 9 . 10 100 2 1 k k k k k k ifadesi kaça eşittir? e=b=10 ve n=100 olduğundan; 10!.(100+0,5.10-0,5) e eşit olur.Yani;sonuç=1045.9! olur. SAYILARLA İLGİLİ TEOREMLER TEOREM:n’lik sayma sisteminde içinde “0” rakamı bulunmayan rakamları toplamı m olan a basamaklı (m) a n Z    1, −1 doğal sayı vardır. TEOREM:n’lik sayma sisteminde rakamları toplamı m olan a basamaklı (m)an Z    0, −1- (m) a n Z 1 0, 1 − −     tane doğal sayı vardır. TEOREM:n’lik sayma sisteminde içinde “0” rakamı bulunmayan rakamları toplamı m olan rakamları farklı b basamaklı   (m) b n b 1, 1 !. −  doğal sayı vardır. SORU:10’luk sayma sisteminde içinde “0” rakamı bulunmayan rakamları toplamı 18 olan rakamları farklı 3 basamaklı kaç tane doğal sayı vardır? Cevap=   (18) 3 1,9 3!. =6.7=42 olur.   (18) 3 1,9  =7 Sonuç:42 olur. Şimdi bu doğal sayıları görelim. 189,981,819,918,198,891,279,297,972,927,729,792,369,396,936,963,639,693,378,387,873, 837,783,738,459,495,945,954,549,594,468,486,648,684,846,864,567,576,675,657,756,765 Görüldüğü gibi böyle 42 tane doğal sayı vardır. TEOREM:n’lik sayma sisteminde rakamları toplamı m olan rakamları farklı b basamaklı ( )( )   ( )   (m) b n m b b n b b 1, 1 !. 1 1, 1 1 . 1 !. − + − − − −   =   ( ) ( )  (m)bn m b b n b 11, 11 !. 0, 1 !. −−− − −   doğal sayı vardır.Bu eşitlik aşağıdaki bağıntıdan bulunmuştur. ( ) ( ) (m) n b m n b m n b 1 0, 1, 1, − − =                SORU:10’luk sayma sisteminde rakamları toplamı 17 olan rakamları farklı 3 basamaklı kaç tane doğal sayı vardır? Cevap=   ( )   (17) 3 1,9 17 6. 2 1,9 4. +  =   ( )   (17) 2 1,9 17 2. 3 0,9 6. −  41   (17) 2 1,9  =1 ve   (17) 3 1,9  =7 olduğundan cevap=46 olur.   (17) 3 0,9  =8 olur. Şimdi bu doğal sayıları görelim. 809,908,890,980,179,197,971,917,791,719,269,296,962,926,692,629,278,287,827,872,782, 728,359,395,539,593,953,935,368,386,836,863,683,638,458,485,854,845,548,584,467,476, 746,764,647,674 Görüldüğü gibi böyle 46 tane doğal sayı vardır. TEOREM:n’lik sayma sisteminde, rakamları birbirinden farklı olan f tane doğal sayı vardır. n’lik sayma sisteminde, rakamları birbirinden farklı a basamaklı pozitif tam sayıların sayısı=b ( ) ( ) 1 1 :0 ! 1 ! 1 .  + − − = − n k k n f n Burada toplama 1 eklenmesinin sebebi “0” sayısıdır. ( ) ( ) ( )! 1 ! 1 . n a n b n − − = − SORU:Rakamları birbirinden farklı olan kaç tane doğal sayı vardır?Rakamları birbirinden farklı a basamaklı pozitif tam sayıların sayısı=b Cevap:9. 1 8877691 9 :0 ! 9!  + = k k b= (10 )! 9! 9. − a “0”sayısı da dahil edildiğinden dolayı cevapta 1 eklenmiştir. TEOREM:n basamaklı en küçük doğal sayıdan küçük tüm doğal sayılar sırasıyla yan yana yazıldığında b basamaklı sayı elde edilir.b sayısının tüm rakamlarının toplamı c’dır. c=(n-2)’nin rakamlarının toplamı+8.(n-2)+9 ( ) 1 2 .10 2 :1 9 8. 10 −  + − − = + n n n k k b olur.  − − = 1 :1 1 9. .10 n k k b k (10 1).9 10 :1 1 8. 10 2 :2 9 :1 . 1  .10 + +  + + +  − = h h k k h n k k h c h SORU:100000’den küçük tüm doğal sayılar sırasıyla yan yana yazıldığında kaç basamaklı sayı elde edilir?  − − = 6 1 :1 1 9. .10 k k b k =488889 Sonuç=488889 olur. AMAÇLI SAYI GRUPLARIYLA İLGİLİ TEOREMLERİN LİNEER DİOFANT DENKLEMLERDE UYGULANMASI TEOREM: m n i i ix = :1 lineer denkleminin doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı=       +       n k m k n :1 1,  olur. TEOREM:  ) ( )  ) (m) n i n m nm k m nk n i   =  − − −  0, mod :0 1 0, =  )       +  n k m k n :1 1,  SORU: x1 + 2x2 + 3x3 = 15 eşitliğini kaç tane doğal sayılardan oluşan ( ) 1 2 3 x , x , x sıralısı sağlar? Cevap= (15 6) 3 1, +       =8+7+5+4+2+1=27 olur. Şimdi bu eşitliği sağlayan sıralıları görelim. (1,7,0),(3,6,0),(5,5,0),(7,4,0),(9,3,0),(11,2,0),(13,1,0),(15,0,0),→8 tane (0,6,1),(2,5,1),(4,4,1),(6,3,1),(8,2,1),(10,1,1),(12,0,1),→7 tane 42 (1,4,2),(3,3,2),(5,2,2),(7,1,2),(9,0,2),→ 5 tane (0,3,3),(2,2,3),(4,1,3),(6,0,3),→ 4 tane (1,1,4),(3,0,4),→ 2 tane (0,0,5) → 1 tane Görüldüğü gibi eşitliği sağlayan sıralıların sayısı 27’dir. TEOREM: m n i i  ax = :1 lineer denkleminin b, x sayı aralığındaki tam sayılardan oluşan elemanları farklı sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı=       an mb x n , !. olur. SORU: 1 2 3 x + x + x =22 lineer denkleminin 1,10 sayı aralığındaki tam sayılardan oluşan elemanları farklı sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı kaçtır? Cevap=6. (22) 3 1,10     =30 olur. TEOREM: m n i i  ax = :1 lineer denkleminin b, x sayı aralığındaki tam sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı=            a n m b,x olur. TEOREM:  ) ( ) =   m a n a . 0, (m) n        0, SORU: 1 2 3 4 x + x + x + x =5 lineer denkleminin doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı kaçtır? Cevap= (5) 56 4 0, =     Z olur. Bu lineer denklemlerin tam sayı çözümleriyle ilgilendiğimizden dolayı bu lineer denklemlere Lineer Diofant Denklemler de denilebilir. KURALLI LİNEER DİOFANT DENKLEMLER TANIM: m i x n i i  a = :1 lineer denklemine kurallı lineer denklem denir.Kurallı lineer denklemde ai=f(i) olur.Örneğin,ai=3i2 -2 gibi. Yani bilinmeyeninin katsayısı ile bilinmeyeninin indisi arasında bağıntı olan lineer denkleme kurallı lineer denklem denir. TANIM: m i x n i i  a = :1 lineer denkleminin doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı=  ) (m) n i a   0, dir. TANIM: m n i i x i  a = :1 lineer denkleminin her elemanı mod b’ye göre a’ya denk olan doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı=  ) (m) n i a a b   0, mod TEOREM:  ) ( )  )  ) ()   +−− =       − =   −  ni mbdi en di e ba a n m di e m n di e a :1. 0, mod 0, 0, mod 0 43 ÖRNEK:  ) ( )  )  ) ()   +−− =       − =   −  3:140 2. 313 0, 3 1 2 4 mod 4 3 40 0, 3 1 40 3 0, 3 1 0 4 mod i i i i i  ) ( )  ) ( )  ) (70) 3 0, 3 1 2 4 mod 10 3 0, 3 1 40 3 0, 3 1 0 4 mod  − =   − =   −  i i i 40 3 8 2 5 1 2x + x + x = lineer denkleminin her elemanı mod 4’ye göre 0’a denk olan doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısını bulalım. (20,0,0),(0,8,0),(4,0,4) 10 3 8 2 5 1 2x + x + x = lineer denkleminin doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısını bulalım. (5,0,0),(0,2,0),(1,0,1) 70 3 8 2 5 1 2x + x + x = lineer denkleminin her elemanı mod 4’ye göre 2’a denk olan doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısını bulalım. (22,2,2),(2,10,2),(6,2,6) Görüldüğü gibi teorem doğrudur. TEOREM: ( )       +   =              n k k b n m m n i b :1 1, 0, mod 0  SORU: 24 3 3 2 2 1 x + x + x = lineer denkleminin her elemanı mod 4’ye göre 0’ya denk olan doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı kaçtır? Cevap= ( ) (12) 3 1, 3 4 :1 3 24 1, 24 3 0, 0 4 mod            =      +   =           k k i =7 olur. Şimdi bu eşitliği sağlayan sıralıları görelim. (0,12,0),(8,8,0),(16,4,0),(24,0,0),(4,4,4),(12,0,4),(0,0,8) Görüldüğü gibi bu eşitliği sağlayan sıralıların sayısı 7’dir. TEOREM:  ) ( )  )       −   =    n k m a k n i n m b i a b :1 . 0, mod 0 0, mod SORU: 36 3 3 2 2 1 x + x + x = lineer denkleminin her elemanı mod 4’ye göre 2’ya denk olan doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı kaçtır? Yukarıdaki teoreme göre yapılır.  ) ( )  )  ) ( ) (12)731, 24 3 0, 0 4 3 mod :1 36 2. 3 0, 0 4 mod 36 3 0, 2 4 mod == =      −   =          i k k i i Cevap=7 olur. Şimdi bu eşitliği sağlayan sıralıları görelim. (26,2,2),(18,6,2),(10,10,2),(2,14,2),(14,2,6),(6,6,6),(2,2,10) Görüldüğü gibi bu eşitliği sağlayan sıralıların sayısı 7’dir. TEOREM: ( )        + −  = +      +  + +  =               1 1 :1 1 :1 2. 2. 1 :0 0, n k m k n e n k m k n V m k k n i SORU: 93 5 5 4 4 3 3 2 2 1 x + x + x + x + x  lineer denkleminin doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı kaçtır? 44 Yukarıdaki teoreme göre yapılır. Cevap= ( ) (103) 5 1 4 1 :1 92 5 1 5 :1 184 2. 6 92 :0 5 0, e k e k k V k k k i =       + − = +        = +  +               =691207 olur. SORU: 307 5 :1   i i ix lineer denkleminin her elemanı mod 3 e göre 2 ye denk olan doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı kaçtır? Cevap=e5(103)=691207 e5(103)= ( )  )   ( ) =         306 :0 92 : 0 5 0, 5 0, 2 3 mod m m mi m i ( ) ( ) (92) 5 0, 306 5 0, 2 3 mod 102 5 0,              =   =       i i  SORU: 103 5 :1   i i x lineer denkleminin 103 den küçük doğal sayılardan oluşan elemanları farklı sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı kaçtır?Cevap=e5(103)=691207 SORU: 103 5 :1   i i x lineer denkleminin 103 den küçük doğal sayılardan oluşan en az iki elemanı aynı sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı kaçtır?Cevap=  ( ) ( )        −            102 :0 5 0, 5!. 5 m 0, Z m  m =23363726 KURALSIZ LİNEER DİOFANT DENKLEMLER TANIM: ( ) n m  r mod a m n a r = mod x AMAÇ: Sihirli karelerin ve sihirli küplerin oluşturulmasında kullanılan sihirli serilerin ve kaynaklarda “number partitions” diye geçen  sayı parçalarının mevcut sayısının bulunması GİRİŞ:Yüzyıllardır insanların ilgisini çeken ve birçok matematikçinin üzerinde uğraştığı sihirli kareler ve sihirli küplerin oluşturulmasında kullanılan sihirli serilerin ve  kaynaklarda “number partitions” diye geçen  sayı parçalarının mevcut sayısının bulunması ile ilgili bir yöntem şu ana kadar bulunmamıştır.Ancak bilgisayar yardımıyla hesaplanabilen sihirli serilerin ve sayı parçalarının sayısını bulmak için biz de yeni bir algoritma bulduk. Sihirli kare için olan n elemanlı sihirli seri: aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümenin elemanları toplamı  olan n elemanlı alt kümeleri Örneğin,sihirli kare için olan 3 elemanlı bir sihirli seridir. sihirli kare için olan 4 elemanlı bir sihirli seridir. Sihirli küp için olan n elemanlı sihirli seri:  aralığındaki tam sayılardan oluşan bir kümenin elemanları toplamı  olan n elemanlı alt kümeleri Örneğin,sihirli küp için olan 5 elemanlı bir sihirli seridir. n.dereceden sihirli kare: aralığındaki tamsayılardan oluşan her yerden toplamı(çapraz,yatay,dikey)  e eşit olan nxn’lik kare  

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

8	1	6
3	5	7
4	9	2

                      3.dereceden sihirli kare          4.dereceden sihirli kare n.dereceden sihirli küp: aralığındaki tamsayılardan oluşan her yerden toplamı   e eşit olan nxnxn’lik küp M_p(a;b,d)=  İlk elemanı b olan ve artım miktarı(ortak farkı) d olan  a³ elemanlı aritmetik diziden oluşan a.dereceden bir sihirli küp için sihirli toplam=M₃(a;b,d) olur. A ile başlayan ve ortak farkı D olan aritmetik diziden oluşan  n. dereceden sihirli kareler için sihirli toplam=M₂(n;A,D)=       Sayı Parçaları: Sayı parçalarına örnek olarak; 5’in parçaları:5,(4,1),(3,2),(3,1,1),(2,2,1),(2,1,1,1),(1,1,1,1,1) dır. Buna göre;P(5)=5’in parçalarının sayısı=7 olur.Sayı parçalarında yer önemsizdir;fakat sayılar aynı olabilir.Sayı parçalarında sayılar pozitif tam sayılardır.Sıralılarda yer önemlidir,sayılar aynı olabilir.Kümelerde yer önemsizdir ve sayılar farklı olmalıdır. SİHİRLİ SERİLERİN SAYISININ HESAPLANMASININ YÖNTEMİ: Bu tanıtmalardan sonra sihirli serilerin sayısını bulmak için geliştirdiğimiz yönteme geçebiliriz. Sihirli kare için olan n elemanlı sihirli serilerin sayısı= aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümenin elemanları toplamı  olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı= aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümenin elemanları toplamı 0 olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı r=tek sayı olmak şartıyla;    ise,m elemanlı  dizisinin elemanları toplamı 0 olan r elemanlı alt kümelerinin sayısı=H_r(m) Bu alt kümelere dengeli sayı kümeleri diyebiliriz. r=çift sayı olmak şartıyla;    ise,m elemanlı  dizisinin elemanları toplamı 0 olan r elemanlı alt kümelerinin sayısı=d_r(m) Bu alt kümelere dengeli sayı kümeleri diyebiliriz. Aslında sihirli seriler,pozitif tam sayılardan oluşan ortak farkı 1 olan aritmetik diziye ve toplama işlemine göre dengeli sayı kümelerinin alt grubudur. Dengeli sayı kümeleri ve sayı parçaları da amaçlı sayı gruplarının alt gruplarıdır. Ayrıca sihirli daireler,sihirli altıgenler,sihirli yıldızlar ve sihirli 4 boyutluların oluşturulmasında da kendileri için uygun olan sihirli seriler kullanılır.Bu sihirli seriler de toplama işlemine göre amaçlı sayı  gruplarının alt gruplarıdır. Şimdi dengeli sayı kümeleri ve amaçlı sayı gruplarını tanıtalım: DENGELİ SAYI KÜMELERİ NEDİR? Bir  işlemsel ardışık dizinin,elemanlarının   işlemsel ortalaması o dizinin merkezi olan alt kümelerine  işlemine ve  işlemsel ardışık dizisine göre dengeli sayı kümeleri denir. Merkezi  işleminin birim elemanı olan  işlemsel ardışık dizisine ve  işlemine göre dengeli sayı kümeleri= işlemine göre dengeli sayı kümeleri ve  e=işleminin birim elemanı ise e=-a olur.Ve  işlemine göre n elemanlı dengeli sayı kümeleri=elemanlarının aritmetik ortalaması –a olan      n elemanlı amaçlı sayı kümeleri Bir ardışık dizinin,elemanlarının aritmetik ortalaması o dizinin merkezi olan alt kümelerine toplama işlemine ve o diziye göre dengeli sayı kümeleri denir.O ardışık dizinin merkezi 0 ise,o alt kümelere sadece toplama işlemine göre dengeli sayı kümeleri denebilir. Örnek: aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümenin elemanları toplamı 36 olan 4 elemanlı alt kümelerine toplama işlemine ve  aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümeye göre dengeli sayı kümeleri denir. Örnek: aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümenin elemanları toplamı 34 olan 4 elemanlı alt kümelerine toplama işlemine ve  aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümeye göre dengeli sayı kümeleri denir.Ayrıca bu kümelere sihirli kare için olan 4 elemanlı sihirli seriler de denir. Örnek:  aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümenin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerine toplama işlemine göre dengeli sayı kümeleri denir. AMAÇLI SAYI GRUPLARI NEDİR? işlemine sokulduğunda belli bir sayıyı sonuç olarak veren,bir  işlemsel ardışık dizinin elemanlarından oluşan kümeler ve sıralılara  işlemine ve  işlemsel ardışık dizisine göre amaçlı sayı grupları denir. Elemanları toplamı belli bir sayıyı veren,bir ardışık dizinin elemanlarından oluşan kümeler ve sıralılara toplama işlemine ve o diziye göre amaçlı sayı grupları denir.Elemanları toplamı belli bir sayıyı veren kümeler ve sıralılara toplama işlemine göre amaçlı sayı grupları denir. Örnek: aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümenin elemanları toplamı 37 olan 4 elemanlı alt kümelerine toplama işlemine ve  aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümeye göre amaçlı sayı grupları denir. Örnek:Elemanları toplamı 37 olan 4 elemanlı alt kümelerine toplama işlemine ve  aralığındaki tamsayılardan oluşan bir kümeye göre amaçlı sayı grupları denir. Örnek:Elemanları toplamı 37 olan sayılarının yerleri önemsiz olan sıralılara da amaçlı sayı grupları denebilir.Ayrıca bu sıralılara 37’nin sayı parçaları da denir. Biz projemizde toplama işlemine göre amaçlı ve toplama işlemine göre dengeli sayı gruplarını inceledik.

TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE AMAÇLI SAYI GRUPLARININ ALT GRUPLARI

1.)TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE AMAÇLI SAYI KÜMELERİ A)TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE DENGELİ SAYI KÜMELERİ a)SİHİRLİ SERİLER 2.)TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE AMAÇLI SAYI SIRALILARI 3.)SAYI PARÇALARI

SİHİRLİ SERİLERLE DENGELİ SAYI KÜMELERİ ARASINDAKİ İLİŞKİ

H_n(n²)=sihirli kare için olan n elemanlı sihirli serilerin sayısı(n=tek sayı) d_n(n²)=sihirli kare için olan n elemanlı sihirli serilerin sayısı(n=çift sayı) H_n(n³)=sihirli küp için olan n elemanlı sihirli serilerin sayısı(n=tek sayı) d_n(n³)= sihirli küp için olan n elemanlı sihirli serilerin sayısı(n=çift sayı) H₅(25)=1394=sihirli kare için olan 5 elemanlı sihirli serilerin sayısı d₄(16)=86=sihirli kare için olan 4 elemanlı sihirli serilerin sayısı H₃(9)=8=sihirli kare için olan 3 elemanlı sihirli serilerin sayısı d₂(4)=2=sihirli kare için olan 2 elemanlı sihirli serilerin sayısı H₁(1)=1=sihirli kare için olan 1 elemanlı sihirli serilerin sayısı SİHİRLİ SERİLERLE AMAÇLI SAYI KÜMELERİ ARASINDAKİ İLİŞKİ Sihirli kare için olan n elemanlı sihirli serilerin sayısı=olur. Sihirli küp için olan n elemanlı sihirli serilerin sayısı=olur. = aralığındaki tam sayılardan oluşan kümenin elemanları toplamı m olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı SORU: aralığındaki tam sayılardan oluşan 17 elemanlı bir kümeden elemanlarının aritmetik ortalaması 11 olan 4 elemanlı kaç tane küme elde edilir? TEOREM: aralığındaki tam sayılardan oluşan m elemanlı bir kümeden elemanlarının aritmetik ortalaması  olan n elemanlı b tane küme elde edilir.m=tek sayı ise b=H_n(m) m=çift sayı ise b=d_n(m) m=tek sayı ise b=H_n(m) olacağından; sonuç= H₄(17) olur. TEOREM:    ise,m elemanlı  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı=H₄(m) ise, H₄(m)= olur.m=tek sayı Yukarıdaki teoremde m yerine 17 yazarsak sonucu 104 olarak buluruz. Sonuç: H₄(17)=104 olur. Bu teoremi bulmadan 6 ay önce aynı amaç için uzun bir algoritma olan aşağıdaki algoritmayı bulmuştum.Aşağıdaki algoritma da doğrudur;fakat aşağıdaki algoritmayı farklı bir yoldan bulduğum için üstteki teoremle bağlantısı yoktur. ALGORİTMA:  ise, n elemanlı  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı şöyle bulunur: n=tek sayı=dizinin eleman sayısı n>10   ise,  ise,  ise,      K=tek sayı ise,C= K=çift sayı ise,C= D=  b_k=4 veya 5 olabilir.K=çift sayı ise,b_k=4 olur.K=tek sayı ise b_k=5 olur. b_k=4 ise,v= m= b_k=5 ise,v=m=  E= olamaz.ise;W= ise;W= H₄(n)=A+B+C+D-E+W ÖRNEK:H₄(17) ifadesini yukarıdaki algoritmaya göre hesaplayalım. n=17 x=8   olduğundan;= -13 olur. a=2 K=çift sayı olduğundan;C= D= K=çift sayı olduğundan;b_k=4 olur.b_k=4 ise,v= m= E=  olduğundan;W= Sonuç=H₄(17)=5+50+7+66-24+0=104 olur. SORU: a_n=2n+1 c_n=37-2n ise; 17 elemanlı  dizisinin  elemanları toplamı 76 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? TEOREM:a_n=b+(n-1).d c_n=b+(m-n).d w_n=n y_n=m-n+1 m elemanlı  dizisinin  elemanları toplamı  olan a elemanlı alt kümelerinin sayısı=m elemanlı  dizisinin elemanları toplamı  olan a elemanlı alt kümelerinin sayısı=R m=tek sayı ise,R=H_a(m) m=çift sayı ise, R=d_a(m) Yukarıdaki teoreme göre;b=3,d=2 ,a=4 ve m=17 olur.Buna göre; a_n=2n+1 c_n=37-2n ise; 17 elemanlı  dizisinin  elemanları toplamı 76 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı= aralığındaki tam sayılardan oluşan 17 elemanlı bir kümenin elemanlarının toplamı 36 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı= H₄(17)=104 olur. Sonuç: H₄(17)=104 olur. SORU: Sihirli kare için olan 3 elemanlı sihirli serilerin sayısını bulunuz. TEOREM: olmak şartıyla,   ise,k elemanlı  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 3 elemanlı  alt kümelerinin sayısı şöyle bulunur: ise, H₃(k)= olur.(d=0 ise k elemanlı  dizisinin içinde “0” sayısı bulunmaz.) aralığındaki tam sayılardan oluşan 9 elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı= H₃(9)=Sihirli kare için olan 3 elemanlı sihirli serilerin sayısı k=9 a=1  p=1 ise,Sonuç= H₃(9)=8 olur. SORU:Sihirli kare için olan 4 elemanlı sihirli serilerin sayısını bulunuz. n=çift sayı ise; sihirli kare için olan n elemanlı sihirli serilerin sayısı=d_n(n²) olur.Öyleyse; sihirli kare için olan 4 elemanlı sihirli serilerin sayısı= d₄(16) olur. TEOREM:  ise,m elemanlı  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı=d₄(m) ise,  d₄(m)= m=çift sayı    d=e dir. Fakat d=0 olduğunda e=2 olur. Yukarıdaki teoremde m yerine 16 yazarsak sonucu 86 olarak buluruz. Sonuç: d₄(16)=86 olur. SORU: Sihirli kare için olan 5 elemanlı sihirli serilerin sayısını bulunuz. n=tek sayı ise; sihirli kare için olan n elemanlı sihirli serilerin sayısı=H_n(n²) olur.Öyleyse; sihirli kare için olan 5 elemanlı sihirli serilerin sayısı= H₅(25) olur. Aşağıdaki algoritmada m yerine 25 yazarsak sonucu 1394 olarak buluruz. Sonuç: H₅(25)=1394 olur. ALGORİTMA: m=tek sayı olmak şartıyla;a_n= b_n= ise, m elemanlı  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı=H₅(m) olsun. olsun. ise;p=0 için,N₅(m)=2x-8 p=1 ve 5 için, N₅(m)= p=2 ve 10 için, N₅(m)=2x-20 p=3 için, N₅(m)=p=4 ve 8 için,N₅(m)=2x-16                            p=6 için, N₅(m)=2x-12 p=7 ve 11 için,N₅(m)= p=9 için,N₅(m)=  ise,T₅(m)=            u=0 için, i_u=8 u=1 için, i_u=9 u=2 için, i_u=6 u=3 için, i_u=7 u=0 için, f_u=64 u=1 için, f_u=225 u=2 için, f_u=24 u=3 için, f_u=21 T₅(m)= V₅(m)= m=25 için, V₅(m)=4 olur. TANIM:Bu m elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan n elemanlı(1 elemanı negatif n-1 elemanı pozitif veya n-1 elemanı negatif 1 elemanı pozitif)alt kümelerinin sayısı=V_n(m) olur. B=A-2  2x+1=D=m x-2=E TANIM: aralığındaki tamsayılardan oluşan kümenin elemanları toplamı 0 olan a+b elemanlı   (a elmanı negatif b elmanı pozitif veya a elemanı pozitif b elemanı negatif)alt kümelerinin sayısı=   de  ve  olur.m=2x+1    ise; j=2, ise,    j=2, ise,     j=2, ise, j=1, ise,    j=1, ise,   j=1, ise, j=0, ise,          j=0, ise,     j=0, ise,     -4A⁴-28A³-64A²+8A³D+42A²D+64AD-40A-6D²A²-21D²A+2AD³=F₅(m)   ise, Y₅(m)=8B-8  ise,Y₅(m)=8B  ise,Y₅(m)=8B   m=25 için,=701-39-102=542 olur.   TANIM:Bu m elemanlı kümenin içinde “0”sayısı bulunan ve elemanları toplamı 0 olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı=U_n(m) olur. TEOREM:H_n-1(m)-U_n-1(m)=U_n(m) U₆(m)=H₅(m)-H₄(m)+H₃(m)-H₂(m)  U₅(m)=H₄(m)-H₃(m)+H₂(m)                             U₄(m)=H₃(m)-H₂(m) U₃(m)=H₂(m)  U₂(m)=0 U₁(m)=1 m=25 için,U₅(25) =H₄(25)-H₃(25)+H₂(25)= 362-72+12=302 olur. TANIM:Bu m elemanlı kümenin  elemanları toplamı 0 olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı=H_n(m) TEOREM:  ve n>3 ise, H_n(m)= H_n(m)==1394 olur.Cevap=1394 olur.

DENGELİ SAYI KÜMELERİNİN AMAÇLI SAYI KÜMELERİYLE İLİŞKİSİ

r=tek sayı olmak şartıyla;    ise,m elemanlı  dizisinin elemanları toplamı b olan r elemanlı alt kümelerinin sayısı=   r=çift sayı olmak şartıyla;    ise,m elemanlı  dizisinin elemanları toplamı b olan r elemanlı alt kümelerinin sayısı=   m=tek sayı ise,m=çift sayı ise, olur.   Sayı parçaları ve sihirli serilerin toplama işlemine göre amaçlı sayı gruplarının alt grupları olduğunu gördüğümüze göre; şimdi bu amaçlı sayı gruplarının sayısını hesaplamada   kavramını kullanacağız.Öncelikle bu    kavramına yardımcı olan sayı modelini tanıyalım. Bu sayı modelinde sayılar 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5 şeklinde aşağı doğru yazılmaktadır. Önce;  ve  ifadelerini modelden bulalım.1,1,2,2,3,3,4,4,5,5... dizisinin 1.elemanı  olduğuna göre; =4 ve =4 olur. =++ olur. =++ Örnek olarak;  ifadesinin modele göre hesaplanışını inceleyelim. 1 1 2 2   1 3   1 3   2 4   2   1 4   3   1 5   3   2 Örnek olarak;  ifadesinin modele göre hesaplanışını inceleyelim. 1 1 2 2  1 3  1 Ve sonuç olarak; ifadesinin modele göre hesaplanışını inceleyelim. 1 1 2 2   1 3   1           1 3   2           1 4   2   1      2 4   3   1      2  1 5   3   2      3  1     1 Şimdi de bu   kavramıyla ilgili teoremleri görelim ve bir soru çözelim. TANIM:= aralığındaki tam sayılardan oluşan kümenin elemanları toplamı m olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı TEOREM:=olur. NOT:  olur. Yukarıdaki teoreme göre;=olur. Gerçekten de;=olur. =++ olur. TEOREM: olur. Yukarıdaki teoreme göre;h=18,n=4 olursa;r=0 olur. Gerçekten de;olur. =++ olur. TEOREM: ise,  h=0 ise  olur. TEOREM: SORU:Her elemanı pozitif tam sayı olan,elemanları toplamı 20 olan 3 elemanlı ve 2 elemanlı sayı kümelerinin sayısı kaçtır? Yukarıdaki teoreme göre;k=20,h=2 ise; =24 olur. =9 Sonuç=24+9=33 olur. TEOREM:  ise, YUKARIDAKİ TEOREMİN ŞARTI: sayı aralığındaki x için;  olmalıdır. TEOREM: Bu teorem de yukarıdaki teoremden elde edildi. Yukarıdaki  ,  ve  teoremlerinden aşağıdaki   ve  teoremleri elde edildi. TEOREM: ise, olur. c=0 ise r=1 dir.  ise r=0 dır. Bu teoremde  olmalıdır. TEOREM: ise SORU: aralığındaki tam sayılardan oluşan kümenin elemanları toplamı 22 olan 3 elemanlı ve 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?Cevap: dir. dir.Bundan dolayı;  teoreminde n yerine 22,c yerine 4,r yerine 0,b yerine 1,x yerine 10 yazılırsa =5 olur.Gerçektende 5 küme vardır. Bunlar:, ,,, dur. dir.Bundan dolayı; teoreminde n yerine 22,a yerine 0,x yerine 10 yazılırsa = -1 çıkar.Sonucun –1 çıkması böyle bir küme olmadığını gösterir. NOT: Sonucun negatif çıkması böyle bir küme olmadığını gösterir. Cevap=5+0=5 olur. Yukarıdaki sayı modelinden bir model daha elde ettik ve böylece yeni bir kavramla daha karşılaştık.Şimdi bu yeni modelle yukarıdaki modeli karşılaştıralım.  ifadesinin sayı modelinin sayıları alttan üste doğru ikişer ikişer  toplanır ve toplamlarla elde edilen yeni sayılar soldan sağa doğru yazılır.5+4=9 4+3=7  3+3=6 gibi. ifadesinin sayı modeli aşağıdaki gibidir:    ifadesinin sayı modeli şudur: 9        7   5   3   1            1 6        4   2                                          1 3        1                                               2 2   1 5    3   1                                 3   1           1 2                                                      3   2           1 4   2   1      2 1                                             4   3   1      2  1 5   3   2      3  1     1   Yukarıdaki teoreme göre;9+7+5+3+1= 6+4+2= =++ ve =++ 5+4+4+3+3+2+2+1+1=  olur.  sayı modelinde sol üst köşedeki sayı hep “m”olur. Bu yeni modelden elde edilen  kavramıyla ilgili teoremleri inceleyelim ve bir soru çözelim. TEOREM:Elemanları toplamı  dan küçük n elemanlı her elemanı doğal sayı olan   tane küme vardır. SORU: Elemanları toplamı 15 den küçük 4 elemanlı her elemanı doğal sayı olan  kaç tane küme vardır? =15  n=4 ise;m=9 olur.Sonuç= olur.Yukarıdaki modele göre; =++=+++++=25+12+4+9+2+1=53 Sonuç=53 olur. TEOREM: ise,  olur. TEOREM: Bu  ve  teoremleri sayesinde aşağıdaki  ve  teoremlerini elde ederiz. TEOREM: =w  TEOREM:  ise; SORU:Elemanları toplamı 15 den küçük 3 elemanlı her elemanı doğal sayı olan  kaç tane küme vardır? =15  n=3 ise;m=12 olur.Sonuç= olur. olduğundan;  olur. =+++ + =0 =0+2+4+6+8+10+12=42 olur.=1+3+5+7+9=25 =0+2+4+6=12 =1+3=4 =0 =42+25+12+4+0=83 olur.Sonuç:83 Şimdi  kavramı ile  kavramının diğer teoremlerine geçelim. TEOREM: ise TEOREM:= TEOREM:  TEOREM: SORU:Her elemanı doğal sayı olan ve içinde “0” sayısı bulunan,elemanları toplamı 18 olan 5 elemanlı sayı kümelerinin sayısı kaçtır? Cevap= =15 olur.Sonuç=15 olur. TEOREM:  b=k.a+c  k herhangi bir doğal sayı olabilir. SORU:  ifadesi kaça eşittir?b=24,a=3,c=6 ise;n=10 olur. ==84 Sonuç=84 olur. TEOREM: TEOREM: ÖRNEK: 53=41+12 olduğuna göre;teorem doğrudur. TEOREM:ise,  olur. SORU: ifadesi kaça eşittir? e=15,c=2,a=4,h=23 ise; olur. Sonuç==53 olur.  KAVRAMIYLA İLGİLİ MAKSİMUM ,MİNİMUM VE MODÜLER HESAPLAMALAR TANIM:= aralığındaki mod d ye göre k ya denk olan tam sayılardan oluşan kümenin içinde “a” sayısı en büyük sayı olarak bulunan elemanları toplamı m olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı TEOREM:  ise, a=0 ise,d=b olur.ise,d=a olur. SORU:Mod 4 e göre 2 ye denk olan pozitif tam sayılardan oluşan bir kümenin elemanları toplamı 78 olan 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? =78 olduğuna göre;m=60 olur.Cevap= olur.Sonuç==8+7+5+4+2+1=27 olur. Şimdi bu sayı kümelerini görelim. ,,,,,,,,8 tane ,,,,,,,7 tane ,,,,,5 tane ,,,,4 tane ,,2 tane 1 tane 1 1 2 2 1 3 1 3 2 4 2 1 4 3 1 5 3 2 5 4 2 1 6 4 3 1 6 5 3 2 7 5 4 2 1 7 6 4 3 1 8 6 5 3 2 8 7 5 4 2 1 TEOREM: SORU:Her elemanı pozitif tam sayı olan  kümenin içinde “11” sayısı en büyük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 21 olan 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Cevap: ise, ise,  a=3,x=11,n=3,y=18 ise,  a=3,x=10,n=3,y=18 O halde cevap:= -==4 olur.Sonuç=4 olur. Şimdi bu sayı kümelerini görelim. ,,, TEOREM: Her elemanı pozitif tam sayı olan  kümenin içinde “a” sayısı en büyük sayı olarak bulunan elemanları toplamı m olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı== olur. SORU: Her elemanı pozitif tam sayı olan  kümenin içinde “21” sayısı en büyük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 41 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Cevap: == =8+6+5+3+2=24 olur. Şimdi bu sayı kümelerini görelim. ,,,,,,,8 ,,,,,6 tane ,,,,5 tane ,,3 tane ,2 tane TEOREM: TEOREM: TEOREM: TEOREM:Her elemanı pozitif tam sayı olan  kümenin içinde “a” sayısı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı m olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı== SORU:Her elemanı pozitif tam sayı olan  kümenin içinde “3” sayısı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 21 olan 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Cevap:= =5 Sonuç=5 Şimdi bu sayı kümelerini görelim. ,,,, TEOREM:Mod b e göre a ya denk olan pozitif tam sayılardan oluşan bir kümenin içinde “e” sayısı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı  olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı == = a=0 ise,d=b olur.ise,d=a olur. SORU:Mod 4 e göre 2 ye denk olan pozitif tam sayılardan oluşan bir kümenin içinde “10” sayısı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 78 olan 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? =78 ve b=4,d=2,n=3 ise;m=60 olur. =3 ve =21 olur. Cevap:= = =5 Sonuç=5 Şimdi bu sayı kümelerini görelim. ,,,,5 tane Şimdi yukarıdaki teoremlere göre minimum teoremi ile maksimum teoremini karşılaştıralım. = = olur. TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE DENGELİ SAYI KÜMELERİYLE İLGİLİ DİĞER TEOREMLER TANIM: aralığındaki tamsayılardan oluşan kümenin elemanları toplamı 0 olan a+b elemanlı   (a elmanı negatif b elmanı pozitif veya a elemanı pozitif b elemanı negatif)alt kümelerinin sayısı=   de  ve  olur.m=2x+1 TANIM:Bu m elemanlı kümenin içinde “0”sayısı bulunan ve elemanları toplamı 0 olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı=U_n(m) olur. TANIM:Bu m elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan n elemanlı(1 elemanı negatif n-1 elemanı pozitif veya n-1 elemanı negatif 1 elemanı pozitif)alt kümelerinin sayısı=V_n(m) olur. TANIM:Bu m elemanlı kümenin  elemanları toplamı 0 olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı=H_n(m) TEOREM:  ve n>3 ise, H_n(m)= TEOREM:     ise =Bu m elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan 2a elemanlı(a elemanı negatif,a elemanı pozitif)alt kümelerinin sayısı= TEOREM:b>a ise,    =Bu m elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan a+b elemanlı(a elemanı negatif b elemanı pozitif ve a elemanı pozitif b elemanı negatif) alt kümelerinin sayısı= TEOREM: 2.= U₅(m)= TEOREM:   ise, m elemanlı içinde “0”sayısı bulunmayan  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı=H₄(m+1)-U₄(m+1) =U₅(m+1) U₅(m+1)=  m=çift sayı    SORU: aralığındaki tamsayılardan oluşan fakat içinde “0” sayısı bulunmayan 16 elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Yukarıdaki teorem uygulanır. Cevap= H₄(17)-U₄(17) =U₅(17) U₅(17)= m yerine 16 yazarsak;sonucu 80 olarak buluruz.Sonuç=80 olur. TEOREM: olmak şartıyla,   ise,m elemanlı  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı(2 pozitif 2 negatifli) alt kümelerinin sayısı=D  d=0 ise, m elemanlı  dizisinin içinde 0  bulunmaz.  SORU: aralığındaki tamsayılardan oluşan 17 elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı(2 pozitif 2 negatifli) alt kümelerinin sayısı kaçtır? Yukarıdaki teorem uygulanır.m yerine 17,d yerine 1,a yerine 0 yazarsak;sonucu 72 olarak buluruz. Sonuç=72 olur. SORU: aralığındaki tamsayılardan oluşan ve içinde “0” sayısı bulunmayan 16 elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı(2 pozitif 2 negatifli) alt kümelerinin sayısı kaçtır? Yukarıdaki teorem uygulanır.m yerine 16,d yerine 0,a yerine 0 yazarsak;sonucu 72 olarak buluruz. Sonuç=72 olur. TEOREM:m=çift sayı olmak şartıyla,   ise,m elemanlı  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı(2 pozitif 2 negatifli) alt kümelerinin sayısı bulunurken yukarıdaki teorem uygulanır.d=0 olur. SORU:   ise,16 elemanlı  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı(2 pozitif 2 negatifli) alt kümelerinin sayısı kaçtır?    teoremi uygulanır ve bu teoremde m yerine 16,d yerine 0,a yerine 0 yazarsak;sonucu 72 olarak buluruz.Sonuç=72 olur. NOT:Bu sorudaki 16 elemanlı küme kümesidir. TEOREM:m=çift sayı olmak şartıyla,   ise,m elemanlı  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı =F F=D+M TEOREM: olmak şartıyla,   ise,m elemanlı  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı(1 pozitif 3 negatifli ve 3 pozitif 1 negatifli) alt kümelerinin sayısı=N d=0 ise,m elemanlı  dizisinin içinde “0” bulunmaz.N= SORU: aralığındaki tamsayılardan oluşan 17 elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı(1 pozitif 3 negatifli ve 3 pozitif 1 negatifli) alt kümelerinin sayısı kaçtır? Yukarıdaki teorem uygulanır.d yerine 1,m yerine 17,c yerine 2 yazarsak;sonucu 8 olarak buluruz. Şimdi bu alt kümeleri görelim. ,,,,,,, Görüldüğü gibi böyle alt kümelerin sayısı 8’dir. Aşağıdaki teoremle de bunu ispatlayalım. TEOREM: ise, Yukarıdaki soruda bizden istenen cevap aslında  nin 2 katıdır.Bu da   ifadesinin 2 katına yani 8’e eşittir.2 katı olmasının sebebi soruda 1 pozitif 3 negatifli ve 3 pozitif 1 negatifli alt kümeleri istemesindendir.Yani;sadece 1 pozitif 3 negatifli veya  3 pozitif 1 negatifli alt kümeleri isteseydi,cevap==4 olurdu. SORU: aralığındaki tamsayılardan oluşan ve içinde “0” sayısı bulunmayan 16 elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı(1 pozitif 3 negatifli ve 3 pozitif 1 negatifli) alt kümelerinin sayısı kaçtır? Yukarıdaki teorem uygulanır.d yerine 0,m yerine 16,c yerine 2 yazarsak;sonucu 8 olarak buluruz. TEOREM:m=çift sayı olmak şartıyla,   ise,m elemanlı  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı(1 pozitif 3 negatifli ve 3 pozitif 1 negatifli) alt kümelerinin sayısı=M M= m=çift sayı    d=e dir. Fakat d=0 olduğunda e=2 olur. SORU:kümesinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı(1 pozitif 3 negatifli ve 3 pozitif 1 negatifli) alt kümelerinin sayısı kaçtır? Yukarıdaki teorem uygulanır.m yerine 16,c yerine 2,d yerine 3,e yerine 3 yazarsak;sonucu 14 olarak buluruz. Şimdi bu alt kümeleri görelim. ,,,,,,,,,,,,,Görüldüğü gibi böyle alt kümelerin sayısı 14’dür. TEOREM:m=tek sayı olmak üzere,    ise,m elemanlı  dizisinin elemanları toplamı 0 olan içinde 0 bulunan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı=T T=  SORU: aralığındaki tamsayılardan oluşan 17 elemanlı kümenin elemanları toplamı 0 olan içinde 0 bulunan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Yukarıdaki teorem uygulanır.m yerine 17,b yerine 0 yazarsak;sonucu 24 olarak buluruz. Sonuç=24 olur. Şimdi bu alt kümeleri görelim. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Görüldüğü gibi böyle alt kümelerin sayısı 24’dür. TEOREM: olmak şartıyla,   ise,m elemanlı  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı=H d=0 ise,m elemanlı  dizisinin içinde “0” bulunmaz.d=0 ise H=D+N d=1 ise H=D+N+T olur. TEOREM:m=çift sayı olmak şartıyla,  ise,m elemanlı  dizisinin elemanları toplamı 0 olan r elemanlı alt kümelerinin sayısı=d_r(m)dir. r=çift sayı ve r>2 ise, d_r(m)= olur. r=tek sayı ise, d_r(m) =0 olur. r=2 ise, d₂(m)= olur. SORU:  ise,16 elemanlı  dizisinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? r=4,m=16  r=çift sayı ve r>2 olduğundan;cevap= d₄(16)==80+6=86 dır. SORU:kümesinin elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Cevap=d₄(16)= olur.=80 ve =3 olduğundan; sonuç=86 olur. TEOREM:a_n=n-x  b_n=x-n ise 2x-1 elemanlı  dizisinin elemanları toplamı 0 olan f elemanlı alt kümelerinin sayısı=y Bu  dizisinin içinde “k” elemanı olmayan elemanları toplamı “–k” olan f-1 elemanlı alt kümelerinin sayısı=b ise,   olur. SORU: a_n=n-9  b_n=9-n ise 17 elemanlı  dizisinin içinde “k” elemanı olmayan elemanları toplamı “–k” olan 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı=b ise,  ifadesi kaça eşit olur?Yukarıdaki teoreme göre;cevap==104 olur. TEOREM: aralığındaki tam sayılardan oluşan m elemanlı bir kümeden elemanlarının aritmetik ortalaması  olan n elemanlı b tane küme elde edilir.m=tek sayı ise b=H_n(m) m=çift sayı ise b=d_n(m) TEOREM:m=çift sayı ise  aralığındaki tam sayılardan oluşan içinde  sayısı bulunmayan m elemanlı bir kümeden elemanlarının aritmetik ortalaması  olan n elemanlı c tane küme elde edilir.c=U_n+1(m+1) SORU: aralığındaki tam sayılardan oluşan içinde “10” sayısı bulunmayan 16 elemanlı bir kümeden elemanlarının aritmetik ortalaması 10 olan 4 elemanlı kaç tane küme elde edilir? Yukarıdaki teoreme göre;cevap: U₅(17)= H₄(17)-U₄(17) =80 olur. TEOREM:H_n-1(m)-U_n-1(m)=U_n(m) TEOREM:a_n=b+(n-1).d c_n=b+(m-n).d w_n=n y_n=m-n+1 m elemanlı  dizisinin  elemanları toplamı  olan a elemanlı alt kümelerinin sayısı=m elemanlı  dizisinin elemanları toplamı  olan a elemanlı alt kümelerinin sayısı=R m=tek sayı ise,R=H_a(m) m=çift sayı ise, R=d_a(m) TEOREM:  olmak şartıyla,  dizileri veriliyor.d=0 ise,k elemanlı  dizisinin içinde “0”sayısı bulunmaz. b= k elemanlı aritmetik dizinin içinde r.elemanı olan elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı c=k elemanlı aritmetik dizinin  içinde r.elemanı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı =b =c TEOREM:Bu k elemanlı aritmetik dizinin içinde 1.elemanı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı şöyle bulunur: 1) ise  olur. 2) ise olur. 3) ise  olur. 4) ise  olur. 5) ise  olur. 6) ise  olur. SORU:   ise;21 elemanlı  dizisinin içinde “-10” sayısı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? “-10” sayısı  dizisinin 1.elemanıdır yani ilk elemanıdır. Cevap:  olur. Yukarıdaki teoreme göre;k=21 ise, olduğundan, ifadesinde k yerine 21 yazılır.Sonuç=33 olur. Şimdi bu sayı kümelerini görelim. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,, Görüldüğü gibi toplam 33 tanedir. TEOREM:Bu k elemanlı aritmetik dizinin içinde 2.elemanı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı şöyle bulunur: 1) ise  olur. 2) ise  olur. 3) ise  olur. 4) ise  olur. 5) ise  olur. 6) ise  olur. SORU:   ise;21 elemanlı  dizisinin içinde “-9” sayısı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? “-9” sayısı  dizisinin 2.elemanıdır. Cevap:  olur. Yukarıdaki teoreme göre;k=21 ise, olduğundan,  ifadesinde k yerine 21 yazılır.Sonuç=35 olur. Şimdi bu sayı kümelerini görelim. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Görüldüğü gibi toplam 35 tanedir. Yukarıdaki sayı kümelerine ek olarak,içinde “-9” sayısı bulunan kümelere 1 küme daha ekleriz.Bu küme:kümesidir. Yukarıdaki bu sayı kümelerinin hepsinin elemanları toplamı 0 olduğu için,bu sayı kümelerine toplama işlemine göre dengeli sayı kümeleri denir. TEOREM:Bu k elemanlı aritmetik dizinin içinde 3.elemanı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı şöyle bulunur: 1) ise  olur. 2) ise  olur. 3) ise  olur. 4) ise  olur. 5) ise  olur. 6) ise  olur. SORU:   ise;21 elemanlı  dizisinin içinde “-8” sayısı en küçük sayı olarak bulunan elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? “-8” sayısı  dizisinin 3.elemanıdır. Cevap:  olur. Yukarıdaki teoreme göre;k=21 ise, olduğundan,  ifadesinde k yerine 21 yazılır.Sonuç=34 olur. Şimdi bu sayı kümelerini görelim. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Görüldüğü gibi toplam 34 tanedir. SORU:   ise;21 elemanlı  dizisinin içinde “-8” sayısı bulunan elemanları toplamı 0 olan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? “-8” sayısı  dizisinin 3.elemanıdır. Cevap:  olur. =b =c Teoremlerine göre; =+3 olur. =34 olduğundan;sonuç=37 olur. Yukarıdaki sayı kümelerine ek olarak,içinde “-8” sayısı bulunan kümelere 3 küme daha ekleriz.Bu kümeler:,,kümeleridir. TEOREM:Elemanları toplamı m’den küçük olan doğal sayılardan oluşan n elemanlı kümelerin sayısı=e_n(m) e_n(m)= olur.= ise,  olur.Yukarıdaki e_n(m) kavramının  kavramıyla ilişkisinden ve  kavramının  kavramıyla ilişkisinden aşağıdaki algoritmaları ve teoremleri  elde ettik. ALGORİTMA: aralığındaki doğal sayılardan oluşan bir kümeden elemanları toplamı m’ den küçük olan ve 5 elemanlı e₅(m) tane küme elde edilir.    a=1 ise B= a=2 ise B= a=3 ise B= a=4 ise B= a=5 ise B= a=6 ise B=                          a=7 ise B= a=8 ise B= a=9 ise B= a=10 ise B= a=11 ise B= a=12 ise B= a=13 ise B= a=14 ise B= a=15 ise B= a=16 ise B= a=17 ise B= a=18 ise B= a=19 ise B= a=20 ise B= a=21 ise B= a=22 ise B= a=23 ise B= a=24 ise B= a=25 ise B= a=26 ise B= a=27 ise B= a=28 ise B= a=29 ise B= a=30 ise B= a=31 ise B= a=32 ise B= a=33 ise B= a=34 ise B= a=35 ise B= a=36 ise B= a=37 ise B= a=38 ise B= a=39 ise B= a=40 ise B= a=41 ise B= a=42 ise B= a=43 ise B= a=44 ise B= a=45 ise B= a=46 ise B= a=47 ise B= a=48 ise B= a=49 ise B= a=50 ise B= a=51 ise B= a=52 ise B= a=53 ise B= a=54 ise B= a=55 ise B= a=56 ise B= a=57 ise B= a=58 ise B= a=59 ise B= a=0 ise B= ise   ise ise  ise ise 5+r=E   w=5k+E     p=0 ise N=0 olur.  (p=1,2 veya 3 olur.) u=0 için                                 u=1 için  u=2 için  u=3 için =n dersek; m=103 için;n=19,r=2 olur. A=1211 ve B=1635 olur.W=398159649 ve F=1649 olur. e₅(m)= Sonuç= e₅(103)=olur. SORU: Elemanları toplamı 103’den küçük olan doğal sayılardan oluşan 5 elemanlı kümelerin sayısı kaçtır? Cevap: e₅(103) olur.Yukarıdaki algoritmada m yerine 103 yazarsak sonucu 691207 olarak buluruz. ÖRNEK:e₅(16) ifadesini hesaplayalım.  a=16 olduğundan; a=16 ise B==42 olur. ise =0 olur. 5+0=E=5   w=5k+5   p=2 (p=1,2 veya 3 olur.) u=2 için u=3 için  N=24+21=45 olur.F=45 olur. C=-=1410 olur.Sonuç=e₅(16)= =19 olur. Şimdi elemanları toplamı 16’dan küçük ve her elemanı doğal sayı olan 5 elemanlı sayı kümelerini görelim. ,,,,,,,3+2+1+1=7 ,,,,, ,,, ,, , 1= 1 2 2  1 3  1     1 3  2     1         1=  Yukarıda görüldüğü gibi elemanları toplamı 16’dan küçük ve her elemanı doğal sayı olan 5 elemanlı sayı kümelerinin sayısı 19’dur. ALGORİTMA: aralığındaki doğal sayılardan oluşan bir kümeden elemanları toplamı m+1’den küçük 4 elemanlı e₄(m+1) tane küme elde edilir. ise    C=8a  ise a=  ise a=  ise a= ise    C=8a  ise a=  ise a=  ise a= ise    C=8a  ise a=  ise a=  ise a= ise    C=8a  ise a=  ise a=  ise a=  e₄(m+1)= SORU:Elemanları toplamı 103’den küçük olan doğal sayılardan oluşan 4 elemanlı kümelerin sayısı kaçtır? Cevap: e₄(103) olur.Yukarıdaki algoritmada m yerine 102 yazarsak sonucu 183989 olarak buluruz. Yukarıdaki algoritmada olduğu için;A=13247175,B=225 ve C=192 olur.Sonuç=e₄(103)=olur. ÖRNEK:e₄(11) ifadesini hesaplayalım. m=10 olur. olduğundan;   C=8a  olduğundan; a= C=8 olur. Sonuç=e₄(11)=olur. Şimdi elemanları toplamı 11’den küçük ve her elemanı doğal sayı olan 4 elemanlı sayı kümelerini görelim. ,,,,, ,,, ,, , 1   1 2 2  1 3  1    1 Yukarıda görüldüğü gibi elemanları toplamı 11’den küçük ve her elemanı doğal sayı olan 4 elemanlı sayı kümelerinin sayısı 12’dir. TEOREM: aralığındaki doğal sayılardan  oluşan bir kümeden elemanları toplamı m+1’den küçük 3 elemanlı e₃(m+1) tane küme elde edilir.   m=tek sayı ise; e₃(m+1)=                                                            m=çift sayı ise; e₃(m+1)= SORU:Elemanları toplamı 103’den küçük olan doğal sayılardan oluşan 3 elemanlı kümelerin sayısı kaçtır? Cevap: e₃(103) olur.Yukarıdaki algoritmada m yerine 102 yazarsak sonucu 29903 olarak buluruz. ÖRNEK:e₃(7) ifadesi hesaplayalım. m=6 olur. Sonuç=e₃(7)=olur. Şimdi elemanları toplamı 7’den küçük ve her elemanı doğal sayı olan 3 elemanlı sayı kümelerini görelim. ,,, ,, , 1 1 2 2  1 Yukarıda görüldüğü gibi elemanları toplamı 7’den küçük ve her elemanı doğal sayı olan 3 elemanlı sayı kümelerinin sayısı 7’dir. TEOREM: aralığındaki doğal sayılardan  oluşan bir kümeden elemanları toplamı m+1’den küçük 2 elemanlı e₂(m+1) tane küme elde edilir. ise =e₂(m+1) SORU: Elemanları toplamı 103’den küçük olan doğal sayılardan oluşan 2 elemanlı kümelerin sayısı kaçtır? Cevap: e₂(103) olur.Yukarıdaki algoritmada m yerine 102 yazarsak sonucu 2652 olarak buluruz. ÖRNEK:e₂(7) ifadesi hesaplayalım. m=6 olur.  olduğundan; Sonuç=e₂(7)=olur. Şimdi elemanları toplamı 7’den küçük ve her elemanı doğal sayı olan 2 elemanlı sayı kümelerini görelim. ,,,,,,,, ,,, Yukarıda görüldüğü gibi elemanları toplamı 7’den küçük ve her elemanı doğal sayı olan 2 elemanlı sayı kümelerinin sayısı 12’dir. TEOREM: aralığındaki doğal sayılardan  oluşan bir kümeden elemanları toplamı m+1’den küçük 1 elemanlı e₁(m+1) tane küme elde edilir. e₁(m+1)=m+1 olur. SORU: Elemanları toplamı 103’den küçük olan doğal sayılardan oluşan 1 elemanlı kümelerin sayısı kaçtır? Cevap: e₁(103) olur.Yukarıdaki algoritmada m yerine 102 yazarsak sonucu 103 olarak buluruz. SAYI PARÇALARININ SAYISININ HESAPLANMASININ YÖNTEMİ: TANIM:Sayı parçaları, elemanları toplamı belli bir sayı olan,elemanlarının aynı olabileceği sayı kümeleridir.Sayı parçalarına sayı açılımları da denilebilir. Sayı parçalarına örnek olarak;5’in parçaları:5,(4,1),(3,2),(3,1,1),(2,2,1),(2,1,1,1),(1,1,1,1,1) dır.Buna göre;P(5)=5’in parçalarının sayısı=7 olur. TEOREM: TANIM: =m’in  aralığındaki tam sayılardan oluşan n elemanlı parçalarının sayısı TEOREM: TEOREM:   ise;m’in elemanları farklı sayı parçalarının sayısı= olur. TEOREM: TEOREM: SORU:22’nin 3 elemanlı sayı parçalarının sayısı kaçtır? teoremine göre; Sonuç: NOT:Eğer sayı parçalarının  aralığı verilmemişse;aralık olarak  aralığı alınır. ifadesini hesaplamak için aşağıdaki teoremden yararlanılır. ise,  h=0 ise  olur. =  ise, k yerine 25,h yerine 1 yazılırsa sonuç 40 olarak bulunur.Cevap:40 Şimdi 22’nin 3 elemanlı sayı parçalarını görelim: ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Görüldüğü gibi; 22’nin 3 elemanlı sayı parçalarının sayısı 40’dır. TEOREM: m’in w+1’den küçük pozitif tam sayılardan oluşan parçalarının sayısı= Bu teorem  ve  teoremlerinden elde edildi. m’in w+1’den küçük pozitif tam sayılardan oluşan parçalarının sayısı =m’in  aralığındaki tam sayılardan oluşan tüm sayı parçalarının sayısı=m’in w+1’den az elemanlı tüm sayı parçalarının sayısı Yukarıdaki teoremi örnekle açıklayalım. ÖRNEK:22’nin  aralığındaki tam sayılardan oluşan tüm sayı parçalarının sayısı=22’nin  4’den az elemanlı tüm sayı parçalarının sayısı Önce 22’nin  aralığındaki tam sayılardan oluşan tüm sayı parçalarını görelim. ,,,,,,, , ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, , , ,,,,,, , , ,, , 22’nin  aralığındaki tam sayılardan oluşan tüm sayı parçalarının sayısı 52’dir. Şimdi 22’nin  4’den az elemanlı tüm sayı parçalarını görelim. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 22’nin  4’den az elemanlı tüm sayı parçalarının sayısı da 52’dir.Bu örnekle teoremin doğruluğunu görmüş olduk.

SAYI PARÇALARINDA MAKSİMUM VE MİNİMUM HESAPLAMALARI

TANIM:=m’in  aralığındaki mod d ye göre k ya denk olan tam sayılardan oluşan ve içinde “a” sayısı en büyük sayı olarak bulunan n elemanlı parçalarının sayısı

TEOREM: m’in w+1’den küçük pozitif tam sayılardan oluşan n elemanlı parçalarının sayısı= ÖRNEK: Önce 22’nin  aralığındaki tam sayılardan oluşan 12 elemanlı tüm sayı parçalarını görelim. ,,,,, Şimdi 22’nin  içinde en büyük sayı olarak “1”, “2” veya “3” sayısının bulunduğu 12 elemanlı tüm sayı parçalarını görelim. ,,,,,Her iki durumda da eşit sayıda küme olduğundan teorem doğrudur. MÜKEMMEL BİR İLİŞKİYİ ANLATAN TEOREM: SORU:22’nin,içinde “3” sayısı en büyük sayı olarak bulunan tüm sayı parçalarının sayısı kaçtır? Sonuç: olur.  ifadesini de yukarıda 40 olarak bulduğumuzdan dolayı cevap:40 olur. Şimdi 22’nin,içinde “3” sayısı en büyük sayı olarak bulunan tüm sayı parçalarını görelim. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, , , ,,,,,, , , ,, , Görüldüğü gibi 22’nin,içinde “3” sayısı en büyük sayı olarak bulunan tüm sayı parçalarının sayısı 40’dır.

SAYI PARÇALARIYLA İLGİLİ DİĞER TEOREMLER

TEOREM:

TEOREM:

ÖRNEK: =6-1=5 Bu örnekte aşağıdaki sayı kümelerini kullandık. ,,,,, TEOREM:

ÖRNEK: =40 ve =52-12=40 olduğundan teorem doğrudur.

TEOREM:

TEOREM:

AMAÇLI SAYI GRUPLARININ DİĞER BİR ALT GRUBU:AMAÇLI SAYI SIRALILARI işlemine sokulduğunda belli bir sayıyı sonuç olarak veren,bir  işlemsel ardışık dizinin elemanlarından oluşan sıralılara  işlemine ve  işlemsel ardışık dizisine göre amaçlı sayı sıralıları denir. Elemanları toplamı belli bir sayı olan doğal sayılardan oluşan sıralılara toplama işlemine göre amaçlı sayı sıralıları denir. TANIM:= aralığındaki tam sayılardan oluşan kümenin elemanları toplamı m olan n elemanlı sıralılarının sayısı  KAVRAMIYLA İLGİLİ TEOREMLER TEOREM:ise,  SORU:Her elemanı pozitif tam sayı olan elemanları toplamı 4 olan sayı sıralılarının sayısı kaçtır? =8 olur.Bu sayı sıralıları şunlardır: ,,,,,,, SORU:Her elemanı pozitif tam sayı olan elemanları toplamı 6 olan 4 elemanlı sayı sıralılarının sayısı kaçtır? Bu sayı sıralıları şunlardır: ,,,,,,,,, TEOREM:  SORU:Her elemanı doğal sayı olan elemanları toplamı 5 olan 4 elemanlı sayı sıralılarının sayısı kaçtır? 1.YOL: =+++=4+24+24+4=56 dır. 2.YOL: olduğundan; =- =126-70=56 olur. TEOREM:  TEOREM:  Yani;her elemanı doğal sayı olan elemanları toplamı n’den küçük d+1 elemanlı sayı sıralılarının sayısı= olur. SORU:Her elemanı doğal sayı olan elemanları toplamı 10’dan küçük 5 elemanlı sayı sıralılarının sayısı kaçtır? olduğundan;= =2002 olur. Sonuç=2002 olur. TEOREM:=- .(d+1) olur.Yandaki ifade için; olur.  ise.(d+1)  ifadesi 0’a eşit olur. SORU:6’dan küçük  doğal sayılardan oluşan bir kümeden elemanları toplamı 10’dan küçük 5 elemanlı kaç tane sayı sıralıları elde edilir? olduğundan;Cevap==-.5 olur.-.5=2002-56.5=1722 Sonuç=1722 olur. SORU:2’dan küçük  doğal sayılardan oluşan bir kümeden elemanları toplamı 4’den küçük 5 elemanlı kaç tane sayı sıralıları elde edilir? olduğundan;Cevap==-.5 olur.-.5=56-6.5=26 olur. Sonuç=26 olur. Şimdi bu sayı sıralılarını görelim. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Görüldüğü gibi sayı sıralılarının sayısı 26’dır.   AMAÇLI SAYI SIRALILARININ SAYISI İLE FİBONACCİ DİZİSİNİN ARASINDAKİ İLİŞKİ FİBONACCİ DİZİSİ:Kendinden önceki iki sayının toplamına eşit olan sayıların oluşturduğu diziye fibonacci dizisi denir.1,1,2,3,5,8,13,21... şeklinde devam eder. Teorem:c+r=k’nın olduğu tümifadelerinin toplamı fibonacci dizisinin (k+1).elemanına eşit olur.Bu teoremden yola çıkarak aşağıdaki teorem elde edilebilir. Teorem:m+a=k ise,elemanları toplamı m olan her elemanı pozitif tam sayı olan a elemanlı c tane sıralı vardır.c=Fibonacci dizisinin (k-1).elemanıdır. SORU:Fibonacci dizisinin 6.elemanı 8 olduğuna göre;m+a=7 ise,elemanları toplamı m olan her elemanı pozitif tam sayı olan a elemanlı kaç tane sıralı vardır? m+a=7 ise,elemanları toplamı m olan her elemanı pozitif tam sayı olan a elemanlı c tane sıralı vardır.c=Fibonacci dizisinin 6.elemanı=8 olur.Sonuç=8 olur. Şimdi bu sayı sıralılarını görelim. ,,,,,,,  KAVRAMIYLA İLGİLİ MAKSİMUM,MİNİMUM VE MODÜLER HESAPLAMALAR TANIM:= aralığındaki mod d ye göre k ya denk olan tam sayılardan oluşan kümenin içinde “a” sayısı en büyük sayı olarak bulunan elemanları toplamı m olan n elemanlı sıralılarının sayısı TEOREM: TEOREM: TEOREM: TEOREM: TEOREM:= Şimdi toplama işlemine göre amaçlı sayı kümeleri,sıralıları ve dengeli sayı kümeleriyle ilgili bir soru çözelim. SORU:103’den küçük doğal sayılardan oluşan bir A kümesi vardır.Bu A kümesinden elemanları toplamı 103’den küçük olan ve en fazla 5 elemanlı a tane en az iki elemanı aynı olan sıralılar elde ediliyor.Ayrıca bu kümeden elemanlarının aritmetik ortalaması 51 olan en fazla 5 elemanlı b tane küme elde ediliyor.Bunlara göre; a+b ifadesi kaça eşittir? m’den küçük doğal sayılardan oluşan bir A kümesi vardır.Bu A kümesinden elemanları toplamı m’den küçük olan n elemanlı a tane en az iki elemanı aynı olan sıralılar elde ediliyor.Bu A kümesinden elemanları toplamı m’den küçük olan n elemanlı d tane sıralılar elde ediliyor. Bu A kümesinden elemanları toplamı m’den küçük olan n elemanlı c tane küme elde ediliyor.a=d-n!.c olur. Her elemanı doğal sayı olan elemanları toplamı 103’den küçük olan n elemanlı kümelerin sayısı=olur. Her elemanı doğal sayı olan elemanları toplamı 103’den küçük olan n elemanlı sıralıların sayısı=  olur. Her elemanı doğal sayı olan elemanları toplamı 103’den küçük olan n elemanlı en az iki elemanı aynı olan sıralıların sayısı=  olur. 103’den küçük doğal sayılardan oluşan kümenin elemanlarının aritmetik ortalaması 51 olan n elemanlı alt kümelerinin sayısı=olur.Bunlara göre; olur. e₁(103)=103  e₂(103)=2652  e₃(103)=29903  e₄(103)=183989  e₅(103)=691207 =103 =5356 =187460 =4967690  =106308566 a=23923774 =1 =51 =1301 =29053 =520569 b=550975 a+b=24474749 Cevap=24474749 olur. ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE DENGELİ  SAYI KÜMELERİ Bir geometrik dizinin,elemanlarının geometrik ortalaması o dizinin merkezi olan alt kümelerine çarpma işlemine ve o diziye göre dengeli sayı kümeleri denir.O geometrik dizinin merkezi 1 ise,o alt kümelere sadece çarpma işlemine göre dengeli sayı kümeleri denebilir. ÖRNEK:a_n=2^n-501 b_n=2^501-n ise  dizisinin içinde “a₅₀₁” yani “b₅₀₁” sayısı bulunmayan ve elemanları çarpımı 1 olan en az 996 elemanlı alt kümelerinin sayısı=K ise; a_n=n-501 b_n=501-n ise  dizisinin içinde “a₅₀₁” yani “b₅₀₁” sayısı bulunan ve elemanları toplamı 0 olan en çok 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı=K olur. a_n=2^n-501 b_n=2^501-n ise  dizisinde a₅₀₁=b₅₀₁=1 olur. a_n=n-501 b_n=501-n ise  dizisinde a₅₀₁=b₅₀₁=0 olur. TEOREM:H_n-1(m)-U_n-1(m)=U_n(m) U₆(m)=H₅(m)-H₄(m)+H₃(m)-H₂(m)  U₅(m)=H₄(m)-H₃(m)+H₂(m)                             U₄(m)=H₃(m)-H₂(m) U₃(m)=H₂(m)  U₂(m)=0 U₁(m)=1 olur. a_n=2^n-501 b_n=2^501-n ise  dizisinin içinde “a₅₀₁” yani “b₅₀₁” sayısı bulunmayan ve elemanları çarpımı 1 olan en az 996 elemanlı alt kümeleri çarpma işlemine göre dengeli sayı kümeleridir. Proje çalışmamız sırasında sayılar ve tümevarımlı polinomlarda katsayılarla ilgili bazı teoremler bulduk.Şimdi bu teoremleri gösterelim.

TÜMEVARIMLI POLİNOMLARDA KATSAYILAR

 kavramıyla ilgili hesaplamalarımızla uğraşırken tümevarımlı polinomlarda katsayılarla ilgili bazı teoremler bulduk.   TEOREM: ifadesinin açılımında, n^m+d nin katsayısı = dir.Yani = olur. SORU: ifadesinin açılımında, n⁵ nin katsayısı kaçtır? d=1,m=4 olduğundan;= olur. ifadesinin açılımında görüldüğü gibi; n⁵ nin katsayısı= olur.Sonuç= TEOREM:n^m+d-1 nin katsayısı == dir. SORU: ifadesinin açılımında, n⁴ nin katsayısı kaçtır? Cevap== dir.=  = = olduğundan; = olur. ifadesinin açılımında görüldüğü gibi; n⁴ nin katsayısı== Sonuç= TEOREM:m>1 olmak şartıyla, ifadesinin açılımında, n’in (m+2)den küçük tüm katları(0 hariç) vardır  ve n’in tüm katsayıları pozitiftir. TEOREM: ifadesinin açılımında, n’in tüm çift katlarının katsayılarının toplamı 0,5 dir. TEOREM:ifadesinin açılımında, n’in tüm çift katlarının katsayılarının toplamı 0,5 dir. TEOREM:ifadesinin açılımında katsayıların işaretleri: şeklinde devam eder. TEOREM:ifadesinin açılımında, tüm n katlarının katsayıları toplamı 1’dir. TEOREM:ifadesinin açılımında, n^m in  katsayısı=dir. SORU:ifadesinin açılımında, n⁴ ün  katsayısı kaçtır? Cevap= olur. ifadesinin açılımında görüldüğü gibi; n⁴ ün  katsayısı== olur. TEOREM:ifadesinin açılımında, n^m+1 in katsayısı=dir. SORU:ifadesinin açılımında, n⁵ in  katsayısı kaçtır? Cevap= olur. ifadesinin açılımında görüldüğü gibi; n⁵ in  katsayısı== olur. TEOREM: ifadesinde tüm n katlarının katsayıları toplamı 1’dir. TEOREM:=P(n) ifadesinde n’in katsayısı= dir. SORU: ifadesinin açılımında, n^’ nin katsayısı kaçtır? Cevap=== dir. ifadesinin açılımında görüldüğü gibi; n^’ nin katsayısı== olur. Sonuç= TEOREM:= dir. SORU: ifadesinin açılımında, n⁴ nin katsayısı kaçtır? Cevap=== dir. TEOREM:= dir. SORU: ifadesinin açılımında, n⁵ nin katsayısı kaçtır? Cevap=== dir. TEOREM:= SORU: ifadesinin açılımında, n⁵ nin katsayısı kaçtır? Cevap=== dir. Şimdi yukarıdaki teoremleri aşağıdaki açılımlardan kontrol edebiliriz. =+ =+ =+ =+ =+                 =+     TEOREM:olsun.olsun.olsun.   olur. SORU:ifadesinin 4’e bölümünden ve 3’e bölümünden kalan kaçtır? m=4,a=3,b=4,n=10 ve f=1 dir. olur.olur.olur.    olur. =15333 e=3925248 e’nin 3’e bölümünden kalan 0 olur.Yani; =0  olur.d=810 =2 olur.Yani; olur. Şimdi ifadesini hesaplayalım.=5746938 Bu  5746938 sayısının 3’e bölümünde kalan 0,4’e bölümünde kalan 2 çıkmaktadır.Bu da teoremi doğrulamaktadır. TEOREM: ise; ifadesi e=b ise,b!.(n+0,5b-0,5) e eşit olur.e=b-1 ise,(b-1)! e eşit olur.ise,0’a eşit olur. SORU:ifadesi kaça eşittir? e=b=10 ve n=100 olduğundan; 10!.(100+0,5.10-0,5) e eşit olur.Yani;sonuç=1045.9! olur.

SAYILARLA İLGİLİ TEOREMLER

TEOREM:n’lik sayma sisteminde içinde “0” rakamı bulunmayan rakamları toplamı m olan  a basamaklı  doğal sayı vardır. TEOREM:n’lik sayma sisteminde rakamları toplamı m olan  a basamaklı- tane doğal sayı vardır. TEOREM:n’lik sayma sisteminde içinde “0” rakamı bulunmayan rakamları toplamı m olan rakamları farklı b basamaklı  doğal sayı vardır. SORU:10’luk sayma sisteminde içinde “0” rakamı bulunmayan rakamları toplamı 18 olan rakamları farklı 3 basamaklı kaç tane doğal sayı vardır? Cevap==6.7=42 olur.=7 Sonuç:42 olur. Şimdi bu doğal sayıları görelim. 189,981,819,918,198,891,279,297,972,927,729,792,369,396,936,963,639,693,378,387,873, 837,783,738,459,495,945,954,549,594,468,486,648,684,846,864,567,576,675,657,756,765 Görüldüğü gibi böyle 42 tane doğal sayı vardır. TEOREM:n’lik sayma sisteminde rakamları toplamı m olan rakamları farklı b basamaklı = doğal sayı vardır.Bu eşitlik aşağıdaki bağıntıdan bulunmuştur. SORU:10’luk sayma sisteminde rakamları toplamı 17 olan rakamları farklı 3 basamaklı kaç tane doğal sayı vardır? Cevap== =1 ve =7 olduğundan cevap=46 olur.=8 olur. Şimdi bu doğal sayıları görelim. 809,908,890,980,179,197,971,917,791,719,269,296,962,926,692,629,278,287,827,872,782, 728,359,395,539,593,953,935,368,386,836,863,683,638,458,485,854,845,548,584,467,476, 746,764,647,674 Görüldüğü gibi böyle 46 tane doğal sayı vardır. TEOREM:n’lik sayma sisteminde, rakamları birbirinden farklı olan f tane doğal sayı vardır.              n’lik sayma sisteminde, rakamları birbirinden farklı a basamaklı pozitif tam sayıların sayısı=b  Burada toplama 1 eklenmesinin sebebi “0” sayısıdır. SORU:Rakamları birbirinden farklı olan kaç tane doğal sayı vardır?Rakamları birbirinden farklı   a basamaklı pozitif tam sayıların sayısı=b Cevap:9.   b= “0”sayısı da dahil edildiğinden dolayı cevapta 1 eklenmiştir. TEOREM:n basamaklı en küçük doğal sayıdan küçük tüm doğal sayılar sırasıyla yan yana yazıldığında b basamaklı sayı elde edilir.b sayısının tüm rakamlarının toplamı c’dır. c=(n-2)’nin rakamlarının toplamı+8.(n-2)+9 olur. SORU:100000’den küçük tüm doğal sayılar sırasıyla yan yana yazıldığında kaç basamaklı sayı elde edilir? =488889 Sonuç=488889 olur. AMAÇLI SAYI GRUPLARIYLA İLGİLİ TEOREMLERİN LİNEER DİOFANT DENKLEMLERDE UYGULANMASI TEOREM:  lineer denkleminin doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı= olur. TEOREM:= SORU: eşitliğini kaç tane doğal sayılardan oluşan  sıralısı sağlar?

Cevap==8+7+5+4+2+1=27 olur.

Şimdi bu eşitliği sağlayan sıralıları görelim. ,,,,,,,,8 tane ,,,,,,,7 tane ,,,,,5 tane ,,,,4 tane ,,2 tane 1 tane Görüldüğü gibi eşitliği sağlayan sıralıların sayısı 27’dir. TEOREM: lineer denkleminin sayı aralığındaki tam sayılardan oluşan elemanları farklı sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı=olur. SORU:=22 lineer denkleminin  sayı aralığındaki tam sayılardan oluşan elemanları farklı sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı kaçtır? Cevap=6.=30 olur. TEOREM: lineer denkleminin sayı aralığındaki tam sayılardan oluşan  sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı=olur. TEOREM: SORU:=5 lineer denkleminin doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı kaçtır? Cevap= olur. Bu lineer denklemlerin tam sayı çözümleriyle ilgilendiğimizden dolayı bu lineer denklemlere Lineer Diofant Denklemler de denilebilir.

KURALLI LİNEER DİOFANT DENKLEMLER

TANIM: lineer denklemine kurallı lineer denklem denir.Kurallı lineer denklemde a_i=f(i) olur.Örneğin,a_i=3i²-2 gibi. Yani bilinmeyeninin katsayısı ile  bilinmeyeninin indisi arasında bağıntı olan lineer denkleme kurallı lineer denklem denir. TANIM: lineer denkleminin doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı= dir. TANIM: lineer denkleminin her elemanı mod b’ye göre a’ya denk olan doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı= TEOREM: ÖRNEK: lineer denkleminin her elemanı mod 4’ye göre 0’a denk olan doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısını bulalım. ,, lineer denkleminin doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısını bulalım. ,, lineer denkleminin her elemanı mod 4’ye göre 2’a denk olan doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısını bulalım. ,, Görüldüğü gibi teorem doğrudur. TEOREM: SORU: lineer denkleminin her elemanı mod 4’ye göre 0’ya denk olan doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı kaçtır?Cevap==7 olur.Şimdi bu eşitliği sağlayan sıralıları görelim.,,,,,, Görüldüğü gibi bu eşitliği sağlayan sıralıların sayısı 7’dir. TEOREM: SORU: lineer denkleminin her elemanı mod 4’ye göre 2’ya denk olan doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı kaçtır? Yukarıdaki teoreme göre yapılır. Cevap=7 olur. Şimdi bu eşitliği sağlayan sıralıları görelim. ,,,,,, Görüldüğü gibi bu eşitliği sağlayan sıralıların sayısı 7’dir. TEOREM:  SORU: lineer denkleminin doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı kaçtır? Yukarıdaki teoreme göre yapılır. Cevap==691207 olur. SORU:  lineer denkleminin her elemanı mod 3 e göre 2 ye denk olan doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı kaçtır? Cevap=e₅(103)=691207 e₅(103)= SORU:  lineer denkleminin 103 den küçük doğal sayılardan oluşan elemanları farklı sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı kaçtır?Cevap=e₅(103)=691207 SORU: lineer denkleminin 103 den küçük doğal sayılardan oluşan en az iki elemanı aynı sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı kaçtır?Cevap==23363726 KURALSIZ LİNEER DİOFANT DENKLEMLER TANIM:  x1x₁+a₂x₂+a₃x_3+…+a_nx_n=m lineer denkleminin doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı= olsun. TEOREM: ise =1  ise =0 olur. TEOREM : ise = olur. SORU: lineer denkleminin doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı kaçtır? Cevap:= olur. = = olduğundan;=1  olduğundan;=0 olduğundan;=1  olduğundan;=0 olduğundan;=1 Sonuç:3 olur. Şimdi bu eşitliği sağlayan sıralıları görelim. ,, Görüldüğü gibi bu eşitliği sağlayan sıralılar 3 tanedir. TEOREM:ise; = olur. ÖRNEK:Yukarıdaki sorudaki  ifadesinin değerini bulalım. ise; = olur. TANIM:x  ve bütün katsayılar pozitif olmak şartıyla,lineer denkleminin doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı= TEOREM: TEOREM:-=   TEOREM : TEOREM:= SORU: lineer denkleminin doğal sayılardan oluşan sıralıların oluşturduğu çözüm kümesinin eleman sayısı kaçtır? = = =      Sonuç:13 olur. Şimdi bu eşitliği sağlayan sıralıları görelim. ,,,,,,,,,,,, Görüldüğü gibi bu eşitliği sağlayan sıralılar 13 tanedir.          

PROJE İLE İLGİLİ DIŞ KAYNAKLARDAN BULDUĞUMUZ BİLGİLER

SİHİRLİ KARE İÇİN OLAN İLK 36 SİHİRLİ SERİ SAYILARI

1 1 2 2 3 8 4 86 5 1394 6 32134 7 957332 8 35154340 9 1537408202 10 78132541528 11 4528684996756 12 295011186006282 13 21345627856836734 14 1698954263159544138 15 147553846727480002824 16 13888244935445960871352 17 1408407905312396429259944 18 153105374581396386625831530 19 17762616557326928950637660912 20 2190684864446863915195866500356 21 286221079001041327793634043938470 22 39493409270082248457567923104977298 23 5739019677324553608481368828138484550 24 876085202984795348523051418634128837562 25 140170526450793924490478768121814869629364 26 23456461153390020211328759135664689342531028 27 4097641100787806775815644958425464097739938654 28 745947846718066619823209422870621836022069177558 29 141280774936453250057100993123755087750662375504136 30 27797610141981037322555479186167243505129073097363174 31 5673858009208148397135070998960708533898456476297052346 32 1199872454897380013845796517790093662180055383301098878668 33 262575529501655719245725510596713937964488091566840353740484 34 59394620657532913580290882324816355506080733247883160869518486 35 13872534241478210358349096341203128450357241660871429860873721318 36 3342339793871651580291139212736788281034702731706602993356140483430

PROJEMİZLE İLGİLİ DİZİLERİN ID NUMARALARI VE İSİMLERİ

A001399(n)= A072921(n)= A001400(n)= A001401(n)= A001402(n)= A008636(n)= A008637(n)= A008638(n)= A008639(n)= A008640(n)= A008641(n)= A000601(n)= A002621(n)= A002622(n)=A000070(n)= A000079(n)=  n=tek sayı ise;A001973(n)=H₄(n+4) olur.n=çift sayı ise; A001973(n)=d₄(n+4) olur.A052456=Sihirli kare için olan sihirli seri sayılarından oluşan dizinin ID numarasıdır.A000045=Fibonacci  Serisinin ID numarasıdır.                 Dizilerin ID numaraları ve isimleri The On_Line Encyclopedia of Integer Sequences yani Tamsayı Dizileri Elektronik Ansiklopedisi’nden alınmıştır.  A000070=1,2,4,7,12,19,30,45,67,97,139,195,272,373,508,684,915,1212,1597,2087,2714A001973=1,1,3,5,8,12,18,24,33,43,55,69,86,104,126,150,177,207,241,277,318,362,410,462,519,579,645,715,790,870,956,1046,1143,1245,1353,1467,1588,1714,1848,1988 A001973(0)=1 A001973(1)=1 A001973(2)=3 Yani A001973(n) dizisinin ilk elemanı 1,2.elemanı 1,3.elemanı 3’dür. A052456(0)=1 A052456(1)=1 A052456(2)=2 A052456(3)=8  A052456(4)=86 A000041=1,1,2,3,5,7,11,15,22,30,42,56,77,101,135,176,231,297,385,490,627,792,1002,1255,1575,1958,2436,3010,3718,4565,5604,6842,8349,10143,12310,14883,17977,21637,26015, 31185, 37338,44583,53174,63261,75175,89134 A000041=Sayı parçalarının sayılarından oluşan dizinin ID numarasıdır.Örneğin; burada P(45)=89134 olur. TEOREM:=A001973(m)-A001973(m-2) m=tek sayı ÖRNEK:A001973(7)-A001973(5)=24-12=12= =1+3+5+3=12 m=7 ise;r=1 olur. TEOREM:=A001973(m)-A001973(m-2) m=çift sayı ÖRNEK:A001973(8)-A001973(6)=33-18=15= =1+3+5+1+5=15 m=8 ise;r=0 olur. TEOREM:m=tek sayı ise,H₃(m)-H₃(m-2)= ÖRNEK:H₃(9)-H₃(7)=8-5=3= TEOREM:m=çift sayı ise,d₃(m)=0 olur. ÖRNEK: d₃(8)=0 olur. ÖRNEK: kümesinin elemanları toplamı 0 olan 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı= d₃(8)=0 olur. TEOREM:A001973(m)-2.A001973(m-1)+A001973(m-2)=d+             r=2 ise, d=2 olur.r=3 ise,d=0 olur.r=4,5,0 ise,d=1 olur.r=1 ise,d=-1 olur. ÖRNEK:A001973(8)-2.A001973(7)+A001973(6)=33-2.24+18=2+=3 olur. r=2 ise,d=2 olur. SONUÇ VE TARTIŞMA: Sihirli serilerin ve sayı parçalarını mevcut sayılarını hesaplamak için yeni bir yöntem ve yeni teoremler bulduk.Bulduğumuz bu teoremler bizi uzun uğraşlardan kurtaracaktır.Bu teoremleri bulduğumuz için kendimizi mutlu hissediyoruz. Umarım ortaya çıkardığımız bu yeni yöntem ve yeni teoremler sayesinde sihirli serilerin ve sayı parçalarının başka ilim dallarına uygulanarak daha yeni keşifler bulunmasına öncülük etmiş oluruz. KAYNAKLAR: 1)www.mathworld.com 2)The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences(Tamsayı Dizileri Elektronik Ansiklopedisi) 3)R.C.CARMICHAEL,(1959),The Theory of Numbers and Diophantine Analysis, Dover Publications,New York 4)www.research.att.com 5)Prof.Dr.Hülya ŞENKON,(1993),Soyut Cebir Dersleri,İstanbul 6)H.W.E.JUNG(Çev.O.Ş.İÇEN),(1962),Sayılar Teorisine Giriş,Türk Matematik Derneği Yayınları,Sayı:12,İstanbul 7)S.Mac LANE-G.BIRKHOFF,(1967),Algebra,Collier-Macmillan,London 8)A.O.GELFOND(Çev.O.Ş.İÇEN),(1962),Denklemlerin Tam Sayılarla Çözülmesi(Diofant Denklemleri),Türk Matematik Derneği Yayınları,Sayı:8,İstanbul 9)L.E.DICKSON,(1957),Introduction to the Theory of Numbers,Dover Publications,New York 10)G.BIRKHOFF-S.Mac LANE,(1962),A Survey of Modern Algebra,The Macmillan Co.,New York 11)Prof.Dr.Suat AKIN,(1986),Lineer Cebir,İTÜ Matbaası                                       SONSÖZ: Amacımız; sihirli karelerin ve sihirli küplerin oluşturulmasında kullanılan sihirli serilerin ve kaynaklarda “number partitions” diye geçen  sayı parçalarının mevcut sayısının bulunmasında kullanılan bir yöntem bulmaktı ilk olarak.Ama asıl amacımız;elemanları toplamı belli bir sayı olan sayı kümelerinin ve sıralılarının,sayı parçalarının ve sihirli serilerin mevcut sayılarını hesaplamanın algoritmasını bulmak ve bu sayı gruplarının mükemmel özellikleri,teoremleri ve doğadaki amaç felsefesiyle benzerliklerini keşfetmektir.Benim asıl amacım amaçlı sayı gruplarını matematik dünyasına tanıtmaktır.Fakat sihirli serilerden yola çıkarak amaçlı sayı gruplarını keşfettim.Bundan dolayı sihirli serilerle başlıyorum.Aslında sihirli serileri de sihirli karelerden keşfettim. 3x3’lük bir sihirli kare yapımı sorusunun merakıyla başlayan 6 yıllık bir matematik serüveninin sonucudur bu algoritmalar,yöntemler,teoremler ve özellikler. Teoremler,algoritmalar,yöntemler ve özelliklerin hepsi bana aittir.Hatta “amaçlı sayı grupları” ismi, bazı kavramlar,bazı başlıklar ve simgeler de bana aittir.Çok simge kullandım belki.Ama uzun açıklamaların yerine simgeleri kullanmaya karar verdim.Bazı konularda dış kaynaklardan da esinlendim.Teoremlerin ispatları çok uzun olduğu için yazmadım.Teoremlerin doğruluğunu bazı örneklerle gösterdim.Bazı teoremler vardı ki,çok şaşırtıcı ilişkileri gösteriyordu.Bunlar da doğanın mükemmel yaratılışının birer parçalarıdır bana göre. Yüzyıllardır insanların ilgisini çeken ve birçok matematikçinin üzerinde uğraştığı sihirli kareler ve sihirli küplerin oluşturulmasında kullanılan sihirli serilerin ve  kaynaklarda “number partitions” diye geçen  sayı parçalarının mevcut sayısının bulunması ile ilgili bir yöntem şu ana kadar bulunmamıştır.Ancak bilgisayar yardımıyla hesaplanabilen sihirli serilerin ve sayı parçalarının sayısını bulmak için biz de yeni bir algoritma bulduk.

DOĞADAKİ AMAÇ VE DENGE FELSEFESİNİN MATEMATİKTEKİ BENZERLİĞİDİR “AMAÇLI SAYI GRUPLARI”

2000 yıl önce felsefeden ilk ayrılan bilim olan matematiğin felsefi yanlarından biri de doğadaki amaç ve denge felsefesinin matematiktekiyle benzerliğidir.Şimdi bu benzerliği birçok bilimde açıklayalım. Kimya açısından bakarsak,sayıları atomlara benzetebiliriz.Molekülleri sayı gruplarına, maddeyi de belli bir sayı olan amaca benzetebiliriz.Her atom birçok molekülleri oluşturacak şekilde birleşir yani belirli amaçları vardır.Bu moleküller de maddenin özelliklerini taşıyan küçük birimlerdir. Sıfır nedir?Sıfır, negatif ve pozitif güçlerin toplamının eşit olmasıdır.H₂SO₄ de  H(+1),S(+6),O(-2) değerliklerine sahip üç atomdur.Yukarıdaki molekül (+1,+1,+6,-2,-2,-2,-2) değerliklerinin birleşmesi sonucu oluşmuştur ve sıfır değerindedir yani nötr bir molekül oluşmuştur.Her pozitif gücün bir zıttı yani negatifi bulunur.Her şey kendini tamamlamak için birleşebilir.Dengeye ulaşmak da bir amaçtır. Biyoloji açısından bakarsak,sayıları hücrelere benzetebiliriz.Her hücre belli bir dokuyu oluşturmak için birleşirler.Her doku belli bir organı,her organ da belli bir sistemi oluşturur. Burada dokular sayı grupları,organlar belli bir sayı olan amaçlar,sistemler de tüm sayılar kümesidir. Astronomi açısından bakarsak,sayıları gezegen veya yıldızlara,sayı gruplarını sistemlere,belli bir sayı olan amacı galaksilere,tüm sayılar kümesini de evrene benzetebiliriz. Astronomide başka bir açıdan bakarsak, sayıları gezegen veya yıldızlara,sihirli serileri sistemlere,sihirli kareleri galaksilere,sihirli küpleri de 3 boyutlu evrene,sihirli tessaractları zamanın da dahil olduğu 4 boyutlu evrene benzetebiliriz.En sonunda tek sihirli sonsuz boyutluyu da tanrıya benzetebiliriz.Burada görüldüğü gibi 4 boyutlu ile sonsuz boyutlu tanrı arasında bilmediğimiz birçok boyutun olabileceğini matematiğin muhteşem evreni bize gösteriyor.Matematik tanrının bilimi olmakla beraber,kesinliğin ve yaratıcılığın en mükemmelinin buluştuğu tek bilimdir. Bir olaylar zincirinde tüm olaylar bir sonucu hedefler.Bir hedefin olabilmesi için tüm olayların toplanması ve aynı sırayı takip etmesi gerekir.Bazen birçok farklı olay zincirinin aynı sonuca çıktığını görürüz. Evdeki eşyalarımızı düzenlerken baktığımız her taraftan aynı uyumu sağlamasına dikkat ederiz.Bir bütünün tüm parçaları aynı özelliklere sahip olmalıdır.Bir yemeğin her yerinde aynı tadı almak gibi.Bu bizi güzelliğin sonsuzluğuna götürür.Matematik de böyle bir sanattır. Şekil çizmek zordur.Zor bir sanattır.Hele homojen bir şekil çizmek ve bu şeklin arkasında bir gizem,bir şifre saklayabilmek.Matematiğin sanatsal dünyasında her bir sihirli kareden sihirli çizgi desenleri elde edilir.Sihirli karedeki birbirini izleyen sayılar ard arda birleştirildiğinde “sihirli çizgiler” olarak adlandırılan ilginç desenler oluşur.Ve bunların çoğu homojendir ayrıca simetriktir.Kim bilir belki de her resmin,her güzelliğin arkasında bir sihirli bir kare düzeni vardır.Bu düzeni görmek için ise matematikle uğraşmak gerekir.Ben iyi resim yapamıyorum ama sihirli kareler sayesinde ressamların hayal edemeyeceği güzellikte homojen ve simetrik bir desen çizebilirim. Yukarıdakilere göre doğanın felsefesini anlarken matematik bize yardımcı olabilir.Uzayın homojen yapısı matematiğin dünyasındaki gibidir. Sihirli seriler birer dengeli sayı gruplarıdır.Dengeye ulaşmak da bir amaçtır. Dolayısıyla dengeli sayı grupları ve sihirli seriler de amaçlı sayı gruplarının alt kümesine girer. Dengeli sayı gruplarının ve amaçlı sayı gruplarının mevcut sayılarını hesaplamakla ve bunların algoritmasını bulmakla  elimize ne geçer ki?Önce uğraşın,sonra düşünün bunu.Çünkü bu sayı gruplarının hesaplanmasının algoritmasını bulduğumuzda çok muhteşem formüller ve özellikler göreceksiniz.Bunlar doğadaki muhteşem tesadüfler gibidir.Bu size her bağıntının arkasında yatan muhteşem güzelliği gösterecektir.Bazı yerlerde olacak ki,bu teoremleri ispatlayamayacaksınız ve bunları aksiyom olarak kabul etmek zorunda kalacaksınız.Çünkü bu esrarengiz bağıntı tamamen her şey için doğruluğunu kabul ettiriyor.İspatları sayfalarca olabilir;ama sonunda bulduğumuz bu güzel algoritmalar, teoremler ve özellikler matematik dünyasının yeni bir ülkesini keşfettiğimiz için bize mutluluk veriyor.Bu ülke ki,matematikteki her sayının belli bir amaç için bir araya geldikleri tek ülkedir bu dünyada.Ayrıca bu ülke diğer yıldızları(bilimleri) gören harika ülkelerinden biridir matematik dünyasının.Matematiğin yeni konusu olan amaçlı sayı gruplarını bulduğumuz için çok mutluyuz.